Universidad de Antioquia

U.de.A

 

CAMPOS ELECTROSTÁTICOS

4.1 Dos esferas conductoras de radios 0.10 cm y 0.15 cm tienen cargas eléctricas de 10-7 C y 2 x 10-7 C, respectivamente. Se ponen en contacto y luego se separan. Calcular la carga con que queda cada esfera.

La carga total es 3 x 10-7 C; al poner las esferas en contacto, esta carga total se reparte entre ellas de tal manera que ambas esferas queden al mismo potencial. Llamando V a este potencial final, y a q y Q a las cargas con que finalmente quedan las esferas de radios menor y mayor, respectivamente. Podemos decir que y también igualando estas dos expresiones:

,

es decir 0.15 q = 0.10 Q
además: q + Q = 3 x 10-7 C

En los últimos dos renglones hay un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas; la solución de este sistema de ecuaciones es:

q = 1.2 x 10-7 C
Q = 1.8 x 10-7 C

4.2 Un cilindro hueco largo tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura. Este cilindro tiene una densidad de carga por unidad de volumen dada por , donde k es una constante y r es la distancia al eje. Hallar el campo eléctrico y el potencial en las tres regiones:

a) r < a
b) a < r < b
c) r > b.

 

Tomamos como superficie gaussiana un cilindro concéntrico de radio r y longitud L. Como el es radial, entonces el flujo de a través de la superficie gaussiana es y la ley de Gauss dice:

, de donde

- 1 -

De otro lado , es decir:

- 2 -

a) Para r < a la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero y - 1 - da E = 0. Este resultado se introduce en - 2 - y obtenemos V = constante.

b) Para a < r < b la carga encerrada por la superficie gaussiana es y la ecuación - 1 - da . Este resultado se introduce en - 2 - así:

, de donde:

c) Para r > b la carga encerrada es y la ecuación - 1 - da . Este resultado se introduce en - 2 - así:

, de donde:

4.3 Una esfera metálica hueca tiene radio interior a y radio exterior b, como muestra la figura. Hallar el campo eléctrico y el potencial en las regiones I, II y III sabiendo que hay una carga q en el centro.

En la región II, por ser metálica, el campo electrostático es cero, y en consecuencia el potencial es constante:

- 1 - EII = 0

VII = constante

Para hallar EI tomamos como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r < a. Como se espera que tenga dirección radial, entonces el flujo de a través de la superficie gaussiana es y la ley de Gauss dice que

, de donde:

- 2 -

Sabemos que , es decir

, de donde

- 3 -

Podemos fácilmente hallar la carga eléctrica que se acumula en la superficie interior del metal, la que tiene radio a. Imaginamos el volumen comprendido entre dos esferas, una de radio r < a y otra de radio k tal que a < k < b, como muestran los trazos punteados en la figura.

Calcularemos el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de este volumen mencionado; utilizando -1- y -2- vemos que el flujo es y la ley de Gauss dice que

y utilizando -2- vemos que la carga acumulada es . Una carga igual y de signo contrario se acumula en la otra pared:

- 4 - En la pared exterior del metal (la que tiene radio b) se acumula una carga q.

Finalmente utilizaremos la ley de Gauss para hallar EIII. Imaginemos el volumen comprendido entre dos esferas, una de radio r > b y otra de radio k tal que a < k < b, como muestran los trazos punteados en la figura.

Calcularemos el flujo del campo eléctrico a través de la superficie de este volumen mencionado; utilizando -1- vemos que el flujo es y la ley de Gauss dice:

y - 4 - esto permite entonces concluir que

- 5 - ; e integrando como en - 3 -:

- 6 -

- 2 - 3 - 4 - 5 – 6 - es lo que se obtiene si no hubiera metal.

4.4 Considere una esfera de material dieléctrico con susceptibilidad eléctrica . Esta esfera es de radio b y en el centro hay una carga puntual q. Encuentre: a) el campo eléctrico para r > b; b) el campo eléctrico para r > b; c) la carga de polarización en la superficie de la esfera.

a) r > b

b)

c) Para la polarización es

evaluar en r = b:

Vemos entonces que , lo que debe compararse con el enunciado - 4 - de la página anterior.

 

Apliquemos nuestro resultado para el vidrio, por ejemplo; para el vidrio se tiene , es decir , entonces.

4.5 Se coloca una lámina de cuarzo, cuya constante dieléctrica es en un campo eléctrico de 20kV-m-1. El vector del campo eléctrico forma un ángulo de 45º con las caras superior e inferior y es paralelo a las caras frontal y posterior.

Calcular la densidad de carga en cada una de las caras.

Sabemos que entonces , de donde . De otro lado, , así:

En las caras frontal y posterior se tiene perpendicular a , entonces . En todas las otras caras hace 45º con, entonces

.

4.6 Calcule la capacitancia de un condensador formado por dos cascarones metálicos esféricos concéntricos, de radios a y b: Suponemos que el cascaron pequeño tiene carga q y el grande carga . Deseamos saber la diferencia de voltaje , ya que dividiendo q sobre se encuentra la capacitancia C.

Para encontrar se halla primero E y luego, por integración, se encuentra . Para encontrar el valor E(r) imaginamos una superficie gaussiana esférica, concéntrica y de radio r tal que a < r < b, y que aparece con trazos punteados en la figura de arriba. El flujo de E a través de la superficie gaussiana es , y la carga encerrada es q, o sea que la ley de Gauss dice que , de donde

- 1 -

Ahora, ; integrando se tiene que:

y con - 1 - :

4.7 Considere un condensador formado por dos cascarones cilíndricos, rectos, coaxiales e infinitos, y de radios a y b, como muestra la figura. Considere un trozo de longitud L y halle su capacitancia C.

Suponemos que el cascaron menor se carga con un carga por unidad de longitud, y el cascaron grande con . Deseamos saber la diferencia de potencial , ya que es la capacitancia.

Para encontrar se halla primero E y luego, integrando, se encuentra . Para encontrar E imaginamos como superficie gaussiana otra superficie cilíndrica coaxial, de longitud L y radio r, tal que a < r < b, y que aparece con trazo punteado en esta figura.

El flujo de a través de la superficie gaussiana es y la carga encerrada es , o sea que la ley de Gauss dice que

, de donde

- 1 -

Ahora, ; integrando

y con - 1 - :

Nota 1. Los dos últimos problemas se resuelven siguiendo la misma rutina:

SUPONER que las piezas conductoras tienen carga.

Encontrar E usando la ley de Gauss.

Integrar E para encontrar .

Dividir carga sobre para encontrar la capacitancia.

Nota 2. La rutina mencionada se basa en SUPONER que las piezas conductoras están cargadas, pero la respuesta final, la capacitancia, siempre resuelta independiente de la cantidad de carga que se supone en el literal a) de la Nota 1. La capacitancia es una propiedad que depende de la forma, tamaño y orientación relativa de las piezas conductoras, y también depende del dieléctrico utilizado; pero C no depende de si el condensador está cargado o no, así como el volumen de una botella no depende de si está llena o vacía.

4.8 Considere un condensador de placas paralelas, cada una con un área de 0.2 m2 y separadas una distancia 1cm. A este condensador se le aplica una diferencia de potencial V = 3000 voltios hasta que el condensador se carga, después de lo cual se desconecta de la batería y el condensador queda aislado. Luego se llena el condensador con un material dieléctrico de constante desconocida , y se observa que el potencial disminuye a V’ = 1000 voltios. Calcule:

a) la capacitancia C antes de rellenar el condensador con un material dieléctrico;
b) la carga libre en cada placa, antes y después de rellenar;
c) la capacitancia Cd después;
d) la energía almacenada en el condensador, antes y después;
e) la constante .

a)

b) carga libre . Como el condensador está desconectado de la pila durante el proceso de rellenar con material dieléctrico, esta q permanece constante.

c)

d) energía antes =

energía después =

¿a qué se debe el cambio de energía ?

e)

Dividiendo un renglón por el otro se obtiene . Ahora, usando las respuestas de los literales a) y c) se obtiene que , entonces

4.9 Un condensador de placas planas paralelas de área A se llena con tres materiales dieléctricos de constantes y de espesores d1, d2 y d3, como muestra la figura. Hallar la capacitancia.

Para hallar la capacitancia C suponemos que las placas se cargan con densidades de carga .

Debemos entonces calcular los valores del campo eléctrico E1, E2 y E3 en los tres dieléctricos, y para cada uno de ellos usamos como superficie gaussiana un cilindro tal que una de las bases está dentro de la placa metálica y la otra base está en el respectivo dieléctrico. En la figura mostramos estos tres cilindros; el de la izquierda sirve para calcular E1, el del centro sirve para calcular E2 y el de la derecha para E3.

Calculemos por ejemplo E2: el flujo del desplazamiento es y la carga libre encerrada es , entonces la ley de Gauss dice que , de donde obtenemos, es decir . De la misma manera se calculan E1 y E3, para obtener y :

- 1 - ; ; .

La caída de potencial en el material k1 es ; así mismo y , y la diferencia de potencial entrelas dos placas conductoras es :

- 2 -

Finalmente, :

- 2 -

4.10 Para el condensador del problema anterior:

a) Calcule la energía total contenida en él.

b) Calcule la energía del campo eléctrico en cada uno de los tres materiales dieléctricos.

c) Sume las tres contribuciones de la respuesta b) y compare con la respuesta a).

a)

b) En el medio k1 la densidad volumétrica de energía es ; como este material k1 tiene volumen Ad1 entonces la energía del campo eléctrico en el medio k1 es :

; ahora usando - 1 - de la página anterior se tiene:

. Así mismo y .

c) Finalmente sumamos estas tres contribuciones:

que coincide con la respuesta del literal a). Hemos verificado, pues, que la "energía contenida en un condensador" es la energía del campo eléctrico.

4.11 Se carga a 1000 voltios un condensador de 20 y se desconecta del generador de voltaje. Luego, los terminales de este condensador se conectan a los de otro condensador de que inicialmente se encontraba descargado. Calcular a) la carga eléctrica inicial del sistema, b) la caída de potencial en cada condensador al final del proceso c) las energías inicial y final.

Usaremos la siguiente notación: q: carga del sistema, , , V = 1000 voltios, Vf = voltaje al final del proceso; E, Ef: las energías al comienzo y al final del proceso.

a) : constante

b) Como los dos condensadores están conectados en paralelo, la capacitancia total del sistema es :

Al final del proceso los dos condensadores quedan a una distancia de potencial dada por

: V

que es considerablemente menor que el voltaje inicial V que era 1000 voltios.

c)

En el proceso de conectar un condensador cargado a otro descargado se produce una corriente eléctrica, y esta corriente produce radiación y/o calor en los alambres. La diferencia es la energía de radiación y/o la energía calórica. Pérdidas de estas también ocurren en el proceso mencionado en el problema 4.1.

4.12 Considere el circuito de condensadores que aparecen en la figura y suponga que un voltaje V se aplica entre los puntos a y b. Calcule el voltaje, la carga y la energía en cada condensador.

El circuito es equivalente a:

- 1 -

que a su vez equivale a

- 2 -

Cuando un circuito se compone de condensadores en serie (como en - 1 -), la cantidad de carga en uno cualquiera de los condensadores es igual a la cantidad de carga total del circuito. Con - 1 - vemos que la carga contenida en uno de los condensadores en serie es , y con - 2 - vemos que la carga total en el circuito es : podemos decir entonces que

, es decir

y como tenemos:

Sabemos que carga = capacitancia x voltaje y así calculamos la carga contenida en cada condensador:

Ahora calculamos la energía en cada condensador:

Sumar para hallar la energía total:

- 3 -

La energía total se puede calcular también de otra manera directa; en efecto, sabemos que

y con - 2 -:

que coincide con - 3 -.

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