Universidad de Antioquia

U.de.A


Laboratorio 3

GRÁFICAS

OBJETIVOS

- Analizar tablas de datos experimentales.

- Inferir la importancia del análisis de gráficas obtenidas en papel milimetrado, papel logarítmico y papel semilogarítmico.

- Deducir la importancia del método de regresión lineal, utilizando la calculadora.

 

MATERIAL

Cada grupo debe traer una hoja de papel milimetrado, una hoja de papel semilog y una hoja de papel log-log.

En esta sesión cada grupo debe disponer de una calculadora que se pueda colocar en el modo LR, para ajuste de mínimos cuadrados.

 

NORMAS PARA GRAFICAR

1. Los datos experimentales se pueden tabular en columnas o filas, de tal manera que en la parte superior de las columnas, o a la izquierda de las filas, se escribe el símbolo o nombre de las cantidades físicas medidas con sus unidades correspondientes, como se ilustra más adelante en las tablas para distribución de datos en filas. Toda tabla debe llevar un título que explique el significado de los datos y la forma como estos fueron tomados.

2. Para graficar los datos obtenidos en un experimento, se trazan dos líneas perpendiculares entre sí, llamadas eje de abscisas (horizontal) y eje de ordenadas (vertical), las cuales definen el origen de coordenadas en el punto donde se cortan.

3. En cada eje se debe indicar explícitamente, o con un símbolo, la cantidad que se va a representar y las unidades correspondientes. Por ejemplo, el eje vertical puede representar la velocidad de un auto (m/s ) y el eje horizontal el tiempo (s).

4. La escala de los ejes, cuando se usa papel milimetrado, debe escogerse de acuerdo a los valores máximos y mínimos de la tabla de datos de tal manera que la gráfica ocupe el máximo espacio de la hoja.

5. En papel milimetrado se deben elegir, sin embargo, escalas que puedan subdividirse fácilmente. Valores recomendables son 1, 2, 5 y 10 unidades de división. No se recomiendan valores tales como 3, 7, 6 y 9 debido a que hacen difícil la localización y lectura de los valores en la gráfica. No es necesario que la escala sea la misma en ambos ejes, ni que comiencen en cero.

6. Luego se localiza cada punto en su lugar aproximado y se dibuja en el papel. Si varias curvas se van a trazar en el papel y los puntos pueden interferir, se utilizan círculos, cuadrados y triángulos para encerrar los puntos correspondientes a cada curva.

7. A continuación se traza una línea suave a través de los puntos. No es necesario que la curva pase por cada uno de ellos, pero debe dejarse, en lo posible, igual número de puntos por encima y por debajo de la gráfica a trazar de la forma que queden igualmente espaciados de la curva.

8. Toda gráfica debe llevar un título explicativo que se coloca una vez que esta sea elaborada para darle significado a los resultados que muestra. Por ejemplo: Velocidad de un deslizador en un riel de aire como función del tiempo, en lugar de colocar velocidad vs tiempo.

 

TIPOS DE ESCALAS PARA GRAFICAR DATOS EXPERIMENTALES

Existen dos tipos de escalas para graficar datos experimentales, la escala con divisiones iguales y la escala logarítmica. Estas escalas se presentan combinadas por pares en tres tipos de papel, como se describe a continuación.

a. Papel milimetrado

En este caso, se tienen escalas iguales en el eje vertical y el eje horizontal, donde una división generalmente corresponde a un milímetro, de ahí su nombre. Cuando no se obtiene una línea recta al graficar los datos de un experimento, es necesario graficar en otro tipo de escala.

b. Papel semilogarítmico ó semilog

En este tipo de papel se tiene un eje con divisiones iguales como en papel milimetrado, mientras que el otro eje tiene una escala logarítmica, por ello se le da el nombre de semilogarítmico o semilog como se le denomina comúnmente. Esta escala aparece por ciclos, de tal manera que si se inicia en 1, el primer ciclo termina en 10, dando lugar a que el segundo ciclo se inicie en 10 y termine en 100. Si el primer ciclo se inicia en 10, terminará en 100 y el segundo terminará en 1000. Observe que las divisiones en un ciclo no son iguales. La decisión de si el ciclo se inicia en 0.1, 1, 10, etc. depende de los datos experimentales que se quieran graficar. Debe quedar claro que en este tipo de papel la escala ya está dada y no es posible cambiarla como en papel milimetrado donde, dependiendo de los datos, es posible elegir determinado número de divisiones, como la unidad de la cantidad que se desea graficar. Por otro lado, no hay que hallar el logaritmo de los datos, sino que cuando se grafica directamente un valor la escala lo convierte en su logaritmo. Es decir, si en papel milimetrado se grafica el punto (a, b), al llevarlos al papel semilog queda graficado el punto (a, log b) si se toma el eje horizontal para escalas iguales y el eje vertical para la escala logarítmica. Esta combinación de escalas se emplea para funciones de la forma y = b10mx, donde x et y son las cantidades a graficar.

c. Papel logarítmico o Loglog

En este caso, las escalas horizontal y vertical son logarítmicas y se procede en la misma forma que en el eje logarítmico del papel semilog. Esta combinación de escalas se utiliza para funciones de la forma y = bxm, donde x et y son las cantidades a graficar.

¿Qué se busca con los cambios de escala?

La respuesta es simple, solo se busca obtener una gráfica que sea más fácil de analizar, como lo es cuando se obtiene una línea recta, donde su ecuación es de la forma:


donde m y b son, respectivamente, la pendiente de la recta y su intercepto con el eje y.

 

Curvas y rectas

Una línea recta, cuya ecuación es de la forma:

se puede transformar, usando las propiedades de los logaritmos, en la expresión:

En la recta log y= mx + log b la pendiente es m y el intercepto es log b.

Por otro lado, una línea recta cuya ecuación es de la forma:

se puede transformar, usando las propiedades de los logaritmos, en la ecuación

En la recta log y = m log x + log b, el intercepto es log b y la pendiente es m.

Nota: Los más usual es trabajar con base decimal ( b=10 ) o con la base natural ( e=2.718281... ).

 

Ecuación cuadrática

En el caso particular de la función:

   :  que en papel milimetrado corresponde a una parábola al graficar y en función x, es posible obtener una línea recta si se grafica y en función x2 en papel milimetrado.

 

Regresión lineal (Ajuste de mínimos cuadrados).

Las calculadoras generalmente disponen del modo LR (regresión lineal), el cual permite obtener los interceptos y las pendientes de las rectas obtenidas gráficamente. Consulte el manual de operación de su calculadora, sobre la forma como se utiliza el modo LR.

 

Tablas de datos

El profesor le indicará a cada grupo con cual tabla trabajará durante la sesión, en cada caso.

 

Tabla 1.

En un experimento se midió el tiempo t que demora un cuerpo en alcanzar la posición x, obteniéndose los siguientes resultados

t (s)

0.3

1.2

1.7

2.3

2.9

3.6

4.7

5.5

6.8

7.3

x (m)

–0.5

3.9

6.7

9.2

12.8

15.8

21.4

25.6

32.2

34.2

 

t (s)

0.4

1.0

1.8

2.4

3.1

3.8

4.5

5.3

6.5

7.6

x (m)

0

–2.7

–6.9

–10.2

–13.8

–16.7

–20.7

–24.3

–30.2

–35.8

 

t (s)

0.2

0.9

1.4

1.9

2.6

3.5

4.7

5.4

6.3

7.4

x (m)

4.4

6.3

9.1

11.3

14.9

19.8

25.7

28.8

33.6

38.9

Lleve los datos de la tabla asignada por el profesor, a la tabla 1 del informe.

 

Tabla 2.

Valores de las coordenadas (x, y), para una partícula que describe una trayectoria en el plano xy.

x (m)

0.5

1.3

2.1

3.6

4.7

5.9

6.7

7.4

8.5

9.3

y (m)

17.7

14.8

12.4

8.7

6.8

5.1

4.3

3.6

2.8

2.3

 

x (m)

0.4

1.4

2.2

3.7

4.8

6.0

6.8

7.5

8.6

9.4

y (m)

21.9

27.6

33.2

46.9

60.4

79.6

95.7

112.4

144.8

174.1

 

x (m)

0.3

1.2

2.0

3.5

4.6

5.8

6.6

7.3

8.4

10.0

y (m)

8.7

5.8

4.0

2.0

1.2

0.7

0.5

0.3

0.2

0.1

Lleve los datos de la tabla asignada por el profesor, a la tabla 2 del informe.


Tabla 3.

Período T de un péndulo simple en función de su longitud L.

L (m)

2.0

1.7

1.6

1.4

1.3

1.2

0.9

0.7

0.4

0.1

T (s)

2.8

2.6

2.5

2.4

2.3

2.2

1.9

1.7

1.3

0.6

Variación de la fuerza F de un resorte en función de su deformación x.

x (m)

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.0

F (N)

2.2

6.3

12.2

20.3

30.2

42.3

56.2

72.3

90.2

100.0

Variación de la posición y de un móvil en función del tiempo t.

t (s)

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

y (m)

0.4

0.8

1.2

1.8

2.4

3.1

4.0

4.9

5.9

7.1

Lleve los datos de la tabla asignada por el profesor, a la tabla 3 del informe. Recuerde colocar el título de la tabla, y las variables con sus respectivas unidades.

 

INFORME SOBRE GRÁFICAS

 

FECHA: _______________________ MESA #: ____________

 

NOMBRES:

1. _____________________________
2. _____________________________
3. _____________________________


TABLA 1:

Tiempo t que demora un cuerpo en alcanzar la posición x.

t(s)

                   

x(m)

                   

a. Haga una gráfica en papel milimetrado de la posición del móvil, en función del tiempo. Colocar la variable independiente (en este caso el tiempo t) en el eje horizontal, y la variable dependiente (en este caso la posición x) en el eje vertical.

Pregunta 1.

De acuerdo con la gráfica obtenida, ¿qué relación existe entre la posición y el tiempo?


b. Encuentre la ecuación de la gráfica obtenida. No tome puntos que estén por fuera de la línea que se decidió trazar.


c. ¿Cuáles son las dimensiones de cada uno de los valores numéricos que aparecen en la ecuación obtenida?. De acuerdo con su respuesta ¿cuál es el significado físico de cada uno de estos valores?


d. Con la ecuación encontrada, calcule la posición del móvil cuando t=4s.

e. Halle la ecuación usando la regresión lineal con la calculadora (coloque la calculadora en el modo LR y entre las parejas x, t), y calcule la posición del móvil cuandot=4s.  Compare la respuesta con la encontrada en el numeral b. ¿Cuál cree usted que es más digna de confianza?.

 

TABLA 2:

Posición y del móvil en función de x.

x (m)

0.4

1.4

2.2

3.7

4.8

6.0

6.8

7.5

8.6

9.4

y (m)

21.9

27.6

33.2

46.9

60.4

79.6

95.7

112.4

144.8

174.1

a. Haga un gráfico en papel milimetrado de y (eje vertical) en función de x (eje horizontal). ¿Cómo podría utilizar esta gráfica para predecir y cuando x = 4.0 m.?.

b. Hasta ahora no es posible encontrar una expresión algebraica para la relación entre las variables y y x. Para lograr esto, haga un gráfico en papel semilog de y en función de x. Encuentre la ecuación respectiva y calcule la posición y cuando x = 4.0 m.

c. Halle la ecuación usando regresión lineal con la calculadora (coloque la calculadora en el modo LR y entre las parejas log y, x), calcule la posición y cuando x = 4.0 m y compare la respuesta con la encontrada en el numeral b.

d. ¿Cuáles son las dimensiones de cada uno de los valores numéricos que aparecen en la ecuación obtenida? De acuerdo con su respuesta, ¿cuál es el significado físico de cada uno de estos valores?

 

TABLA 3.

                     
                     

a. Haga un gráfico en papel milimetrado de la variable dependiente (eje vertical) en función de la variable independiente (eje horizontal). (Nota: Variable independiente en la primera fila de la tabla de datos).

b. Hasta ahora no es fácil encontrar una expresión algebraica para la relación entre las variables del problema. Para lograrlo, haga un gráfico en papel loglog de la variable dependiente en función de la variable independiente. Encuentre la ecuación correspondiente entre las variables y calcule el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente toma el valor de 1.8_____.

c. Halle la ecuación usando regresión lineal con la calculadora (coloque la calculadora en el modo LR y entre las parejas de datos log ___, log ___) y calcule el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente toma el valor de 1.8___. Compare la respuesta con la encontrada anteriormente.

d. ¿Cuáles son las dimensiones de cada uno de los valores numéricos que aparecen en la ecuación obtenida? De acuerdo con su respuesta, ¿cuál es el significado físico de cada uno de estos valores?

 

|I| |N| |I| |C| |I| |O|