7. MOMENTO DE UNA FUERZA.

 

7.3. MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.

Sean:

Una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido como se indica en la figura 104.

Un punto del sólido alrededor del cual éste puede rotar.
El vector de posición de A, tomando como origen el punto O.


FIGURA 104.


Se define el momento o torque de la fuerza con respecto al punto O y se designa por como:

Observaciones:

1. El simbolo < class="large3"> corresponde a una letra del alfabeto griega y se lee tao, también se designa el momento con respecto al punto O por

2. De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuencias que se pueden observar en las figuras 105 y 106.


FIGURA 105.



7.3.1. MAGNITUD DE

, siendo el ángulo que determinan los dos vectores cuando los aplicamos en un mismo punto; observemos que no necesariamente, el ángulo determinado entre el vector y la aplicación de en su extremo que corresponde realmente a su suplemento pero que, erróneamente, en muchas ocasiones se toma como el ángulo entre los dos vectores.


FIGURA 106.


Vemos que en el rectángulo, donde OH representa la distancia del punto O a la linea de acción de , que y por lo tanto se tiene tambien que: a la distancia OH se le denomina brazo de palanca, y una consecuencia inmediata de la expresión anterior es que la magnitud del torque de la fuerza es independiente del punto de aplicación de ésta sobre su línea de acción, puesto que la distancia de O a la recta es constante.

Remitiendonos de nuevo a la ecuación inicial para podemos establecer otra interpretación interesante que se origina al descomponer la fuerza en dos componentes rectangulares así: una componente paralela al vector y otra componente perpendicular a éste; que designamos respectivamente por y como podemos observar en la figura 107.


FIGURA 107.


Se tienen en consecuencia las siguientes expresiones para

Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad, dependiendo de los datos específicos del problema a estudiar.

Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la magnitud del torque, en el sistema MKSC corresponde al producto Newton.metro. Recordando algo anteriormente visto, tenemos que, en el mismo sistema, el trabajo también se expresa en este mismo producto, designando como Joule la unidad para el trabajo. No obstante utilizaremos el Joule únicamente para las unidades del trabajo y en el caso del torque los designamos explicitamente como Newton.metro. Mas adelante daremos una explicación detallada del significado del torque.


7.3.2. DIRECCIÓN DE

y y por lo tanto es perpendicular al plano que determinan los vectores y cuando ellos no son paralelos. En consecuencia la recta de acción de representa el eje respecto al cual tiende a girar el cuerpo cuando está sujetó en O y se le aplica la fuerza


7.3.3.
SENTIDO DE

El sentido de está indicado por la regla de la mano derecha, como lo estudiamos en la definición del producto vectorial. Para el caso de la situación analizada el vector está "entrando" al plano determinado por y como lo indicamos en la figura 105, 106 y 107; esta regla nos indica además el sentido del giro que la fuerza tiende a imprimir al sólido rígido, alrededor de un eje determinado por la línea de acción de y que pasa por O.

En este caso el sentido del giro es horario y por convención lo indicaremos con el simbolo como se indica en la figura 108, asignandole signo negativo al módulo de en caso contrario si el sentido es antihorario lo indicaremos con el simbolo asignandole signo positivo al módulo de


FIGURA 108.


Esta caracterización de nos permite, por último comprender cabalmente el significado de este objeto físico que resumiremos así: la magnitud de mide la tendencia de la fuerza a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el punto O fijo.

7.3.4. Como ya fué observado previamente, el momento de una fuerza respecto a un punto, no depende de la situación real del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su linea de acción (recordemos que la fuerza corresponde a un vector deslizante). Recíprocamente el momento de una fuerza no determina la posición del punto de aplicación de la misma.

Sin embargo, el momento de una fuerza de magnitud, dirección y sentidos dados, determina completamente la recta de acción de . En efecto, la recta de acción de se encuentra en un plano perpendicular al vector y que pasa por O; y la distancia de la recta al punto O es igual al cociente además el sentido de y el signo asignado nos permite precisar a que lado de O se determina la recta.

Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de transmisibilidad, como consecuencia de todo lo anterior, en los siguientes términos: Dos fuerzas y son equivalentes, si y sólo si, son iguales y tienen momentos iguales respecto a un punto dado O. Esto lo podemos simbolizar así, y son equivalentes si y sólo si y


7.3.5. TEOREMA DE VARIGNON.

Èl momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O.

Esto es, si las fuerzas , ; se aplican en un punto P, como se indica en la figura 109, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:


FIGURA 109.


Debemos anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemático francés Pedro Varignon (1654-1722), mucho antes de la introducción del álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre para este teorema. No sobra destacar como la matemática crea instrumentos cada vez mas refinados y ágiles que permiten la formalización de propiedades validadas empiricamente como la anteriormente citada.

El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una fuerza , por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente util en la descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo, puede resultar más útil en algunos casos descomponer en componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados.


7.3.6. COMPONENTES RECTÁNGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA.

En general la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica notablemente si se procede a la descomposición en sus componentes rectángulares en los ejes coordenados, para el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza, y de ésta respectivamente. Consideremos el momento de una fuerza de componentes respectivamente como se indica en la figura 110 y cuyo punto de aplicación corresponde a P


FIGURA 110.


Se tiene por lo tanto que:


y en consecuencia



Donde los escalares , y de , indican la tendencia de la fuerza a imprimir a un sólido rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes coordenados en su respectivo orden.

Calculemos a su vez las componentes de

esto significa que:



Destaquemos aquí una aplicación importante que corresponde al caso de fuerzas coplanarias. En este caso podemos asumir que la fuerza está contenida en el plano como se indica en la figura 109 y en consecuencia y

Al sustituir estos valores en la ecuación y se tiene por lo tanto

que corresponde a un vector perpendicular al plano como se esperaba.

Finalmente queremos resaltar, para esta situación, dos elementos importantes.

1. Un valor positivo de indica que el vector apunta "hacia afuera del plano" (la fuerza tiende a hacer girar el cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor de O), y un valor negativo indica que el vector apunta hacia adentro del plano (la fuerza tiende a hacer girar el sólido en sentido de las agujas del reloj alrededor de O).

2. Si P designa un punto de cualquiera de la línea de acción de la fuerza , entonces la ecuación nos representa la ecuación de dicha recta: o en forma equivalente


FIGURA 111.


Ilustración 2.

En la figura 112 se tiene una fuerza de magnitud igual a 15N que se aplica a un cuerpo en un punto A. La fuerza está contenida en el plano y forma un ángulo de 50º con el semieje . El vector de posición forma un ángulo de 25º con respecto al semieje y su magnitud es igual a 80cm.

Calcular el torque de la fuerza respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de ésta.


FIGURA 112.


Solución.

Podemos utilizar dos procedimientos diferentes así:

En el primero procedemos a la determinación de las componentes rectángulares de y respectivamente.







esto es

Lo que indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario es decir está "saliendo del plano ".

Ahora la ecuación de la linea de acción de , se obtiene, considerando un punto genérico P perteneciente a ella, como:

o también

En la segunda forma, recurrimos a la definición de la magnitud

como podemos observar en la figura 113 tenemos:


FIGURA 113.


(¿Porqué?).

Luego

, con el signo positivo de acuerdo al sentido del producto vectorial (regla de la mano derecha).


Ilustración 3.

Determine la fuerza resultante, el torque resultante respecto al punto O y la ecuación de la linea de acción de la fuerza resultante, para el sistema de fuerzas coplanarias que se indica en la figura 114, siendo las magnitudes de las fuerzas: y la longitud de cada cuadrícula es igual a 10cm.


FIGURA 114.


Solución.

Expresemos inicialmente cada fuerza, en sus componentes rectangulares.


(¿Porqué?)
(¿Porqué?)

Luego,




en consecuencia

y

¿Corresponde el sistema anterior a un sistema de fuerzas concurrentes?. Justifique su afirmación.

Determinemos a continuación, las componentes rectangulares de cada vector de posición para el punto de aplicación de cada fuerza.




Calculemos ahora el torque de cada fuerza, respecto al punto O.








Por lo tanto el torque resultante es:

esto es lo cual nos indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario, es decir que está "saliendo del plano ".

La ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante es:

, correspondiendo a:

y en consecuencia

Si E(0.2, 0.3) entonces, ¿es E un punto de la linea de acción de ?

Grafique la recta anterior.

¿Se cumple que Justifique su respuesta.


Ilustración 4.

Hallar el momento respecto al origen de una fuerza en la cual sus componentes estan dadas en Newtons, cuando se aplica en un punto A; asumiendo que el vector de posición de A es:

a.
b.
c. donde todas las componentes estan expresadas en metros.

Determine en cada caso, la ecuación de la línea de acción de

Solución.

Resolvamos el primer caso.

, donde cada componente está expresada en luego

Si P es un punto cualquiera de la línea de acción de se cumple:

¿Porqué?.

y en consecuencia se tiene:

Ecuaciones paramétricas de la linea de acción de


Ilustración 5.

Una fuerza de 50 Kgf actua en una esquina de una placa y en el mismo plano de ésta como se indica en la figura 115. Halle el momento de esta fuerza respecto al punto A en las siguientes formas:

a. Empleando la definición.
b. Descomponiendo la fuerza en componentes paralelas a y .
c. Descomponiendo la fuerza en componentes paralela a y perpendicular a respectivamente.


FIGURA 115.


Solución.

Aplicando la definición, tenemos incialmente que luego siendo el ángulo determinado entre y como se indica en la figura 116.


FIGURA 116.


Podemos observar que , por tanto ¿Porqué?.

Luego

Puede verificarse que el vector está "saliendo del plano de la placa" y genera una rotación en sentido antihorario alrededor del punto A.

Dejamos al lector el desarrollo del literal b.

Evaluemos el torque mediante la forma sugerida en el literal c; para ello utilizamos la figura 117.


FIGURA 117.


Descomponemos a en dos componentes con las caracteristicas solicitadas que designamos por y respectivamente, y partiendo de la definición tenemos:

como (¿Porqué?), entonces

y en consecuencia:





Ilustración 6.

Se aplica una fuerza vertical de 150 Kgrf al extremo de una palanca que está unida a un eje en O como se indica en la figura 118.

Halle:

a. El momento de respecto al punto O.

b. La magnitud de una fuerza horizontal aplicada en A, que produce el mismo momento anterior, respecto a O.

c. La fuerza mas pequeña que aplicada en A crea el mismo momento anterior respecto a O.

d. A que distancia del eje debe actuar una fuerza vertical de 250 Kgrf para producir el mismo momento anterior, respecto a O.


FIGURA 118.


Solución.

Tenemos inicialmente que , luego (¿Porqué?) como se indica en la figura 119.


FIGURA 119.


donde , en consecuencia

y el vector está entrando al plano que contiene a la palanca y a , generando una rotación en sentido horario alrededor del punto O.

Designemos por la fuerza horizontal que aplicada en A, produce el mismo momento, entonces se cumple que y como se indica en la figura 120.


FIGURA 120.



con en consecuencia y

¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza se toma su opuesta?.

¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.

Determinemos ahora la fuerza mínima que aplicada en A, genera el mismo momento. Para ello analicemos cada término de la ecuación básica:

, despejando tenemos:

, como y son constantes en este caso, el valor mínimo de se obtiene cuando el denominador alcanza su valor máximo y esto sucede cuando correspondiendo al ángulo En consecuencia la fuerza mínima que designamos por es perpendicular a como se indica en la figura 119 y su valor corresponde a:

¿Qué ocurre si en lugar de la fuerza se toma su opuesta?.

¿Variaría el resultado?. Analice y justifique su respuesta.


FIGURA 121.


Para abordar la solución del literal d, designemos por X el punto de aplicación de la fuerza que genera el mismo momento como se indica en la figura 122 y analicemos una vez mas la ecuación básica.


FIGURA 122.


y (¿Porqué?).

Despejando para tenemos obteniendo finalmente que , lo que nos indica que la fuerza debe aplicarse a 54cm del eje O.


Ilustración 7.

Una viga uniforme de 50N de peso y 4m de longitud se encuentra en reposo y descansa sobre dos caballetes como se indica en la figura 123. Calcular las fuerzas que los caballetes ejercen sobre la viga.


FIGURA 123.


Solución.

Determinemos el diagrama del sólido libre en la figura 124, en el cual podemos ubicar el peso de la viga que designamos por en el centro de gravedad de la misma. Designamos también por y las fuerzas ejercidas por los caballetes.


FIGURA 124.


Se tiene por lo tanto un sistema de fuerzas coplanarias, no concurrentes y en consecuencia las condiciones de equilibrio son:

[1] [2], esto es la suma de los torques respecto a un punto cualquiera de la viga debe ser igual al vector nulo.

Asumamos que la viga se orienta sobre el eje x y las fuerzas estan orientadas en el eje y; en consecuencia la ecuación [1] se reduce a:

y por lo tanto [1'].

Como los torques se pueden tomar en cualquier punto, seleccionemos el punto A pues en esta forma el torque generado por es igual al vector nulo. Así, en la ecuación [2] tenemos:

Al analizar el sentido de los productos, podemos concluir que estos vectores tienen sentido opuesto. (¿Porqué?), y en consecuencia tenemos que :

luego [2'].

despejando para se tiene :

Sustituyendo este valor en la ecuación [1] despejamos

Plantee la ecuación de los momentos tomando como referencia el punto B o el punto C y verifique que el resultado es el mismo.