4. SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARIAS Y CONCURRENTES.


4.2. ELEMENTOS TEÓRICOS.


4.2.1. EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA.


Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actuan sobre la partícula, es igual al vector nulo. Al respecto debemos recordar la primera ley del movimiento de Newton. "Si la fuerza resultante que actúa sobre la particula es cero, la partícula permanecera en reposo (si está inicialmente en reposo) o se moverá con velocidad constante según una recta (si está en movimiento inicialmente)". Se concluye de la definición de equilibrio y de ésta ley, que una partícula en equilibrio o está en reposo o se está moviendo describiendo una linea recta con velocidad constante.


4.2.2. PROBLEMAS EN LOS QUE INTERVIENE EL EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA.


DIAGRAMA DEL SÓLIDO AISLADO.

En los problemas físicos que se presentan en situaciones reales y que tienen aplicación en la ingenieria, en particular en el área de la mecánica, uno de los elementos iniciales que apuntan a la solución de los mismos, corresponde a una buena representación gráfica de los efectos físicos que intervienen en ellos.

Especificamente un buen número de problemas sobre estructuras reales pueden reducirse a problemas de equilibrio de una particula.

Esto se logra eligiendo una particula significativa y dibujando un diagrama representando esta partícula y todas las fuerzas que actuan sobre ella. A este diagrama se le designa con el nombre de diagrama del sólido aislado.


4.2.3. CONDICIONES DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS COPLANARES


Un cuerpo rígido sometido a la acción de fuerzas coplanares permanece en equilibrio si se satisfacen las dos condiciones siguientes:

1. La suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo.

2. La suma vectorial de los momentos generados por las fuerzas, determinados con respecto a un punto cualquiera del plano, es igual al vector nulo.

En nuestro caso, los problemas considerados corresponden a fuerzas coplanarias y concurrentes en un punto, lo que hace que la primera condición sea suficiente para darse el equilibrio.

Ilustración 3.


FIGURA 9.


En una obra de construcción, un contenedor con materiales que pesa 1000kg está soportado por un cable de una grua. Se ata una cuerda al cable en B para evitar la occilación del contenedor y mantenerlo centrado y en equilibrio. El ángulo entre el cable y la vertical es de 4º y el ángulo de la cuerda con la horizontal es de 25º. ¿Cuáles son las tensiones en la cuerda y en el cable?.

Solución.

Aunque la situación real descrita se da en el espacio tridimensional, se puede asimilar a un modelo de fuerzas coplanarias y concurrentes. Procedemos a representar el diagrama del sólido aislado, seleccionando el punto B como aquel en el cual concurren las fuerzas presentes en el sistema y ubicamos en él, el origen del sistema de coordenadas cartesianas, indicando a su vez cada una de las fuerzas.



FIGURA 10.


MÉTODO TRIGONOMÉTRICO.

Condición de equilibrio.

La suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo.

Designamos las fuerzas que intervienen en el problema así:

Peso del contenedor.

Tensión en el cable BA.

Tensión en la cuerda BC.


esto es


Dibujamos un triángulo que responda a las direcciones de los vectores, iniciando con el vector que esta completamente determinado.



FIGURA 11.



Aplicando la ley de los senos se tiene:

, y en consecuencia


Como podemos observar en este caso la solución se logra en una forma más sencilla, aplicando el método trigonométrico, por el reducido número de fuerzas que intervienen. Presentamos de todas formas el método analítico para familiarizar al lector con su implementación en aquellas situaciones (la gran mayoria) en la que obligatoriamente deberá utilizarse.


MÉTODO ANALÍTICO.

Condición de equilibrio

Esto conlleva a que la suma de todas las fuerzas paralelas a los ejes y sean iguales al vector nulo.

y

Determinemos las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas.


FIGURA 12.


luego y en consecuencia:

[1]

luego

y en consecuencia:

[2]

Despejando en [1]: y sustituyendo en [2] tenemos:


Ilustración 4.

Un buque cisterna que transporta petróleo crudo, ha sufrido un accidente que le ha puesto en peligro de naufragar, con el consiguiente desastre ecologico que puede causar. Para evitar su naufragio se requieren reparaciones de emergencia en el mismo lugar del accidente. Esto obliga a que la nave esté inmovilizada y para ello se han utilizado dos buques que han acudido a su ayuda y una lancha guardacostas, desde estas naves se han amarrado cables hasta el buque y por su intermedio se ejercen las tensiones indicadas y en las posiciones que se anotan en el gráfico, por motivos de seguridad, para evitar choques entre las naves. Tenga en cuenta que las líneas de acción de las tensiones son concurrentes.


FIGURA 13.


1. Si se sabe que la tensión ejercida por el cable unido al buque 1 es de 2500 kg.f., cálcula la mínima tensión y el ángulo correspondiente para la ubicación de la lancha guardacostas, sabiendo que ésta embarcación es la que tiene menos potencia y que su ubicación, por las razones ya anotadas, debe darse en el primer cuadrante (Norte-Este); para que el sistema esté en equilibrio. Calcula también en estas condiciones, el valor de la tensión ejercida por el buque 2.


Solución.

Este problema nos brinda una buena oportunidad para implementar una solución gráfica (geométrica) por la condición de la determinación de una tensión mínima.

Consideremos inicialmente el diagrama del solido aislado; en el cual se tiene:

(Valor mínimo)


FIGURA 14.


Condición de equilibrio.

, esto es

Para facilitar la solución gráfica, utilizamos la suma generalizada de los vectores libres, iniciando con los vectores que estén completamente determinados como es el caso de y continuando con del cual se conoce su dirección y sentido mas no su magnitud y finalizando con la aplicación del vector del cual solo conocemos la condición sobre su magnitud mínima.


FIGURA 15.


Aplicamos inicialmente el vector en A y a continuación como no conocemos la magnitud de pero si conocemos su dirección, entonces determinamos la recta subyacente del mismo. La condición de equilibrio exige que al aplicar el vector en el extremo del vector , el cual no conocemos pero si su linea de acción, el extremo de corresponde al punto A. Esto nos permite en consecuencia concluir que el segmento de menor magnitud que se puede determinar entre el punto A y la recta es el segmento perpendicular entre el punto A y la recta. Justifica esta afirmación.

En esta forma quedan determinados los vectores y y con la ayuda de la escala y el transportador podemos determinar aproximadamente las magnitudes de estos vectores y el valor de


Para mejorar la exactitud de estos valores apliquemos las razones trigonométricas al triángulo rectángulo determinado en la solución gráfica.

¿Porqué?

Luego

y en consecuencia ¿Porqué?.

2. Se han efectuado las reparaciones de emergencia y se necesita remolcar la nave averiada hasta el puerto más cercano situado al Este de la posición actual del barco. Ha llegado un barco especializado en remolque que reemplaza a la lancha guardacostas. Para lograr el desplazamiento del buque cisterna en la dirección requerida, se necesita generar una fuerza resultante exactamente en esta dirección.

Las condiciones en las que se encuentra la nave averiada, requieren para su desplazamiento de la ubicación de los buques 1 y 2 en la posición que se indica y con las tensiones que se anotan en el gráfico siguiente para evitar que éste se vuelque hacia un costado. Se descarta la fuerza necesaria para vencer la inercia del buque cisterna durante su movimiento, porque este puede utilizar sus motores para producir exactamente esta fuerza.



FIGURA 16.


Si se sabe que: en las direcciones indicadas, determine la dirección que debe tomar el buque remolcador, si debe ubicarse en el primer cuadrante (Norte-Este) para generar una fuerza resultante sobre el sistema de dirección Este, en los dos casos siguientes:

a. Si el remolcador puede generar una tensión de 4600 kg.f.

b. Si el remolcador puede generar una tensión de 3600 kg.f

Determinar el valor de la fuerza resultante en ambos casos.

Sugerimos que determines las soluciones gráficas en las dos situaciones.

Desarrollemos a continuación la solución por el método análitico.



FIGURA 17.


En el primer caso para

Condición de no equilibrio.



  1. , luego





    [1]


  2. ,



    [2]

Sustituyendo el valor de en la ecuación [1] se tiene:


En el segundo caso para

Como las condiciones son análogas al primer caso, basta sustituir en las ecuaciones [1] y [2] el nuevo valor de obteniendo los siguientes resultados.

[1]

[2] Luego y sustituyendo en [1] se tiene

El resultado nos muestra que no es posible obtener en estas condiciones, una fuerza resultante en la dirección pedida. Comprueba este resultado con el obtenido gráficamente.


Ilustración 5.

Un cajon y su contenido pesan 370kg. Halla la cadena eslinga ACB más corta que pueda emplearse para levantar el cajón cargado, si la tensión en la cadena no debe pasar de 450 kg.



FIGURA 18.


Solución.

Determinemos el diagrama del sólido aislado, observando que en el punto C inciden todas las fuerzas presentes en el sistema y que designamos así:


FIGURA 19.


Tensión ejercida por el cable que engancha la cadena, su magnitud es igual al peso del cajón y su contenido, esto es de 370 kg.

y representan respectivamente las tensiones ejercidas por la cadena en cada una de las direcciones de carga.


FIGURA 20.



FIGURA 21.


Designemos por la longitud de la cadena eslinga. Por la distribución simétrica de la cadena observemos en la figura 20 el isósceles con ángulos congruentes en la base. Estos corresponden igualmente a los ángulos determinados por y con los semiejes . ¿Porqué?. Obsérvese además que ¿Porqué?

Procedamos ahora por el método análitico.

Condición de equilibrio:

1.

luego [1]

Este resultado nos permite afirmar que las tensiones en ambas ramas de la cadena son iguales. (Esto es, los vectores y tienen la misma magnitud).

Ahora de acuerdo a la condición inicial del problema se tiene que la máxima tensión que puede soportar la cadena no debe exceder de 450kg; en consecuencia y en consecuencia

2.

[2]

Sustituyendo [1] en [2] tenemos, y esto es

Ahora, en el rectángulo de la figura 20 tenemos que:

luego

Determina con esta longitud de la cadena, cuál es la tensión en la cadena si varia la forma de agarre, como se indica ahora en la gráfica, para el cajón con el mismo contenido. Con base en lo que encuentres puedes determinar: ¿Cuál es la forma óptima de atar el cajón para generar la mínima tensión en la cadena? Figura 21a.



FIGURA 21a.

Ilustración 6.


FIGURA 22.

En la figura se utiliza un recipiente para cargar el material extraido de una cantera. El peso del recipiente incluido el material que contiene es de 250kg. Si la tensión en el cable es de 200kg, y éste forma un ángulo de 70º con la horizontal, determina el valor de la tensión ejercida por el hombre sobre la cuerda AC y el ángulo para que el sistema esté en equilibrio.

Determina la solución gráfica y trigonométrica.

Solución analítica.

Condición de equilibrio:


FIGURA 23.


[1] - - - Luego [1'].

[2]

[2'].


Dividiendo término a término la ecuación [2'] por la ecuación [1'] tenemos:

Sustituyendo el valor del ángulo en [1'] o en [2'] se obtiene el valor de , así

Ilustración 7.

Una esfera cuyo peso es de 50Kgf descansa sobre dos planos lisos, inclinados respectivamente con referencia a la horizontal, ángulos de 30º y 45º. Calcula las reacciones de los dos planos sobre la esfera.



FIGURA 24.

Solución analítica.

Determinemos las fuerzas que intervienen en el sistema.



FIGURA 25.


Estas corresponden a:

Peso de las esfera. Se ubica su aplicación en el centro de gravedad de la esfera, que corresponde al centro de la misma y perpendicular al plano horizontal.

y Son las reacciones o fuerzas ejercidas por cada uno de los planos inclinados sobre la esfera. La dirección y sentido de cada una de ellas es perpendicular a la superficie de contacto con el cuerpo. En consecuencia, por propiedad geométrica, ellas estan en la dirección de los radios y concurren en el centro O.


Diagrama del solido libre.



FIGURA 26.


¿Porqué los ángulos determinados con el eje son los indicados en la figura?.

Condición de equilibrio

[1] , luego y esto es, [1'].

[2] , esto es, [2'].

Despejando de [1'] y sustituyendo en [2'] se tiene:

Y en consecuencia, y


Ilustración 8.



FIGURA 27.


En la figura M y M. Calcula la tensión en la cuerda AB y el ángulo si el sistema se encuentra en equilibrio.

Solución.

Determinemos el diagrama del sólido aislado, en el puede observarse que el efecto de la polea en C es únicamente cambiar el sentido de la tensión vertical producida por el cuerpo M, en una tensión horizontal trasmitida a través de la cuerda BC.



FIGURA 28.


Condición de equilibrio

[1] , luego y en consecuencia [1'].

[2] , luego y en consecuencia [2'].

Dividiendo término a término la ecuación [1'] por la ecuación [2'] tenemos:

y por tanto y


Ilustración 9.


FIGURA 29.



En la figura el carrito y su carga pesan 350 Kgr. Determina la magnitud y la dirección de la fuerza mínima necesaria para mantener el sistema en equilibrio. Asúme que la única fuerza generada por el plano es la fuerza normal (perpendicular) ejercida a través de los rodamientos. Cálcula también el valor de la fuerza normal y la componente de en la dirección del plano inclinado.


Solución.

Procedemos a determinar el diagrama del sólido aislado, asumiendo que el carrito se comporta como una partícula.


FIGURA 30.



FIGURA 31.


Las fuerzas presentes en el sistema corresponden respectivamente a:

Peso del carrito y su carga.

Fuerza normal (perpendicular) ejercida por el plano inclinado (piso) sobre el carro a través de sus ruedas.

Fuerza mínima necesaria para mantener el sistema en equilibrio.


Por tratarse de la determinación de una fuerza mínima y conocerse las lineas de acción de las otras dos fuerzas, recurrimos al método gráfico o geométrico.

Condición de equilibrio:



FIGURA 32.


Aplicamos inicialmente en el punto O el vector y luego determinamos la linea de acción del vector , cuya dirección es conocida, finalmente desde el punto O bajamos el segmento perpendicular a la recta obteniendo en esta forma el segmento de menor magnitud . En esta forma quedan determinados el vector y el mínimo valor para

En el triángulo rectángulo tenemos:

¿Porqué?.

Como puede concluirse, la componente de en la dirección del plano inclinado es la misma