8.1 Introducción

No podríamos terminar este recorrido inicial por los primeros niveles del majestuoso edificio de la Teoría de Conjuntos, sin asomarnos, así sea de una manera sencilla pero precisa, al apasionante tema de la numeralidad y la célebre Hipótesis del Continuo, formulación que el propio Cantor trabajó hasta su muerte tratando de demostrar sin lograrlo, y que convocó a su estudio a eminentes matemáticos como K. Gödel y Paul Cohen entre otros, obteniendo este último un sorprendente resultado cual fue su indecibilidad en la Teoría de Conjuntos.

8.2 Coordinabilidad o Equipotencia

Sean los conjuntos A y B . Si es posible establecer una biyección entre sus elementos, se dirá que A y B son conjuntos coordinables o equipotentes, y se denotará A~B . Simbólicamente podemos definirlo:

A~B si y sólo si es una biyección.

Es de comprensión inmediata e intuitiva que si se trata de conjuntos finitos, son equipotentes aquellos que “ tengan el mismo número de elementos ”. Y en esta línea de intuición poco analítica, cabría pensar que, a su vez todos los conjuntos infinitos son biyeccionables y, por tanto, equipotentes. De hecho tal error se mantuvo hasta que George Cantor definiera la equipotencia como anteriormente ha quedado establecida. No todos los conjuntos infinitos son equipotentes entre sí.

La relación de equipotencia es una relación de equivalencia. En efecto:

•  A~A

•  A~B B~A

•  (A~B) (B~C) A~C

 

8.3 Conjuntos finitos e infinitos

Conviene matematizar estos dos conceptos, a los que nos hemos venido refiriendo previamente y cuyo manejo indiscriminado en las acepciones generales, puede inducirnos a errores.

8.3.1 Conjunto infinito: A es un conjunto infinito si es equipotente con una de sus partes.

Ilustración 1.

•  Dados los conjuntos N y ; , definimos:

Esta función es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). Luego los conjuntos N y P son equipotentes, y en consecuencia N es infinito.

•  Sea el intervalo real [0,1] representado por todos los puntos del segmento de la recta real R .

Sea otro intervalo real [0.2,0.8] representado por el segmento . Consideremos la función , tal que haga corresponder a cada un obtenido trasladando primero a X según t , y proyectando luego t(x)=X' , desde un punto fijo O , sobre R , en , de modo que f(x)=X” .

Esta aplicación f es claramente inyectiva y sobreyectiva; se trata, pues, de una biyección.

Se establece en esta forma una biyección entre el intervalo [0,1] y un subconjunto suyo [0.2,0.8]. Lo que nos permite afirmar que

[0,1]~[0.2,0.8]

Esta equipotencia establecida, caracteriza al intervalo [0,1] como infinito.

Figura 1

 

8.3.2 Conjunto finito. A es un conjunto finito si no es equipotente con alguna de sus partes.

Todo conjunto finito presenta las siguientes características esenciales:

•  Es posible su ordenación con primero y último elementos;

•  todo subconjunto ordenado también tiene primero y último elementos.

8.4 Numerabilidad

Si un conjunto A es equipotente con el conjunto de números naturales N , se dice que es numerable y se le asigna el propio cardinal de N , representado por (Primera letra del alfabeto hebreo y se lee ‘alef cero').

Por extensión todo conjunto finito se considera numerable por ser coordinable con un subconjunto de N .

Enunciaremos a continuación algunos teoremas fundamentales, que se refieren a la numerabilidad.

Teorema 1. Todo conjunto infinito, tiene, al menos un subconjunto numerable.

Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Teorema 3. La unión de todos los conjuntos disjuntos numerables de una familia numerable es numerable.

Teorema 4. El conjunto de los números racionales Q es numerable.

En efecto: Sea . Definimos la función:

 

 

Esta función es inyectiva, en consecuencia Q + ~ A siendo .

Admitido que es numerable y según el teorema 2, Q + es numerable. En forma idéntica se prueba que Q - es numerable y en consecuencia se concluye que Q es numerable.

Existen conjuntos infinitos en los que no es posible establecer una biyección con los naturales; no son equipotentes a N y se dice que son conjuntos no numerables .

El conjunto infinito de mayor representatividad es el intervalo cerrado [0,1], el intervalo unidad.

De todo conjunto infinito no numerable, equipotente con el intervalo unidad [0,1], se dice que tiene la potencia del continuo y se le asigna el propio cardinal de [0,1], denotado (alef 1).

Ilustración 2.

•  Sea el intervalo cerrado y la función:

f es biyección, luego [0,1]~ y el cardinal de es .

•  Se define una función f así:

, donde ctg representa la cotangente.

Esta función es biyectiva, luego R~ .

En consecuencia el conjunto de los números reales tiene la potencia del continuo y su cardinal es .

 

8.5  Números cardinales

Siendo la relación de equipotencia o coordinabilidad una relación de equivalencia, tiene la propiedad de particionar los conjuntos en clases disjuntas, cada una de las cuales es un número cardinal .

Los cardinales pueden ser finitos o infinitos. Los primeros son el cardinal de la familia de conjuntos equipotentes con y los de todas las familias de equipotencia de cada uno de los subconjuntos propios de N :

de los segundos, de número ilimitado (a justificar luego, por el teorema de Cantor), se han establecido hasta ahora dos:

Teorema 5. Teorema de Cantor.

Establecido un cardinal cualquiera, siempre existe otro mayor que él. En efecto, entre un conjunto cualquiera A y el conjunto de sus partes P(A) siempre se verifica que si a = Card(A) , entonces a <2 a .

Hipótesis del continuo.

Según el teorema de Cantor aplicado al cardinal de los numerables,

.

También se estableció anteriormente que la potencia del continuo es estrictamente superior al cardinal de los numerables.

.

Se puede demostrar que la relación entre estos dos cardinales es:

.

Tras este resultado es inmediata la pregunta: ¿Existirá algún cardinal superior al cardinal numerable e inferior a la potencia del continuo? O lo que es equivalente: ¿hay un cardinal , tal que

?

La hipótesis del continuo contesta negativamente a saber:

 

Hipótesis del continuo.

No existe un cardinal , tal que .

Un enunciado equivalente al anterior, que describe los términos propios de la investigación al respecto es:

 

Hipótesis del continuo.

Toda parte infinita de R es equipotente a N o a R .

Durante toda su vida Cantor trató de probar la Hipótesis del continuo, pero no pudo lograrlo, Kurt Gödel en 1.938 encontró que la Hipótesis del continuo podía considerarse verdadera sin que contradijera los axiomas de la teoría de conjuntos.

Así estuvieron las cosas hasta que en 1.963 el matemático Paul J. Cohen de la Universidad de Stanford, corroborando las ideas de Gödel, alcanzó la extraordinaria justificación de que la hipótesis del continuo es una proposición “ indecidible ” o lo que es igual: que la Hipótesis del continuo es un axioma independiente dentro del edificio matemático establecido y que, aceptada o negada, sustenta dos teorías de conjuntos infinitos correctas . Cantoriana y no Cantoriana.

Haciendo un paralelo sucede igual que en la geometría con el postulado de paralelismo (Quinto postulado) que según se acepte o se niegue origina dos geometrías diferentes pero consistentes y válidas.

Muchos matemáticos esperan y creen que algún día se hallará un axioma que adicionado a la teoría de conjuntos haga decidible la Hipótesis del continuo. Tanto Gödel como Cohen esperan que así ocurra y están convencidos de que la hipótesis del continuo es falsa ; a diferencia de Cantor, quien creyó y esperó que fuese verdadera.

Para la ampliación de este tema de por sí apasionante, remito a la lectura del artículo: Aleph cero y aleph uno . (Capítulo 5. Miscelánea Matemática).