7.1 Introducción

Como un caso particular de las relaciones, el concepto de función conjuntamente con el de límite se constituyen en la parte fundamental de la matemática moderna.

“La noción de función hoy estrictamente formal, está relacionada con la noción de curva. Los griegos construyen ya varias curvas planas y dividen los problemas geométricos en planos, para los que bastan la recta y la circunferencia, constituyendo así la parte más apreciada de la geometría; sólidos para los que se requiere el uso de las cónicas; y curvilíneas, para las que se necesitan otras curvas más complicadas, cuyo trazado no puede ser exacto. Descartes (1596 - 1650) en el comienzo del libro segundo de su Geometría introduce las curvas algebraicas, justificando como deben ser admitidas en la geometría con el mismo derecho que las cónicas, y las distingue de las “mecánicas”, que no pueden ser tratadas con rigor, porque no se conoce un procedimiento exacto de generación ni siquiera en teoría; así mismo, Descartes, y anteriormente Fermat, al referir las curvas a ejes coordenados crean los fundamentos de la geometría analítica estableciendo un puente entre la geometría y el álgebra.

La palabra función, y su concepto como correspondencia entre una variable dependiente y otra independiente, se elaboran a fines del siglo XVII y principios del XVIII, especialmente por obra de Juan Bernoulli (1667 - 1748) y de L. Euler (1707 - 1783) quien da la siguiente definición en Introductio in Analysin Infinitorum (1748):

“Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta arbitrariamente de aquella cantidad variable y números o cantidades constantes”.

Esta definición es un tanto vaga, pues el modo “analítico” de obtención del valor de la función no está suficientemente precisado. Mérito grande de Euler es el incluir expresamente las funciones implícitas además de las explícitas, así como la división entre uniformes y pluriformes. Respecto del modo de formación de la “expresión analítica” distingue perfectamente entre funciones algebraicas y no algebraicas que llama trascendentes, pero la caracterización de estas últimas es insuficiente”

 

7.2 Definición. Función de A en B

Sean: A , B conjuntos no vacíos. f es una función de A en B si y solo si:

f es una relación de A en B en la cual a todo elemento de A , le corresponde un único elemento de B .

Notación.

Si f es una función de A en B , lo notaremos en general así:

 

Esta última expresión se lee: “ y es la imagen de x bajo f ”.

 

Observaciones.

1. En general utilizamos las letras minúsculas: f , g , h , etc. para designar funciones de A en B .

2. Si f es una función y , lo representamos también como ; el término x lo denominamos en general pre - imagen ; el término y lo denominamos en general imagen .

3. Si f es una función de A en B , utilizaremos las siguientes designaciones:

A : Dominio de f o Conjunto de partida o conjunto de pre - imágenes.

B : Codominio de f o Conjunto de llegada.

4. En general, la asignación de imágenes a las respectivas pre - imágenes se establece normalmente en las funciones de variable real, mediante ecuaciones algebraicas.

 

Ilustración 1.

1. Definimos una función f de N en N así:

Esta función la podemos representar también así:

 

a. Por comprensión

b. Mediante un diagrama sagital.


Figura 1

 

c. Representación en el plano cartesiano.

 

Ejercicios propuestos 7.2

1. Sean: ,

Definimos las siguientes relaciones de A en B .

¿Cuáles de ellas son funciones de A en B ?

 

2. Representar en el plano cartesiano (o en el espacio) las siguientes funciones.

2.1 Sea

2.2

2.3

2.4 Sean:

 

7.3 Funciones de la variable real

Sean: , . De toda función diremos que es una función de variable real. Generalmente estas funciones se definen mediante ecuaciones algebraicas.

Criterios gráficos.

1. Dada la gráfica de una relación, esta corresponderá a una función si toda recta perpendicular al eje x corta a la gráfica a lo sumo en un punto. En caso contrario la relación no es una función.

2. El dominio de una relación (respectivamente de una función) corresponde a la proyección de la gráfica sobre el eje x .

3. El rango de una relación (respectivamente de una función) corresponde a la proyección de la gráfica sobre el eje y .

 

Ilustración 2.

Sean:

Determinar cuáles de las relaciones dadas son funciones, aplicando el criterio gráfico. Especificar para cada una, dominio y rango.

1. Para f

x - 2 0
y 1 3


Figura 2

 

Podemos concluir que f es una función. Dom(f)=R Ran(f)=R .

Expresemos su notación convencional:

 

2. Para g.

Figura 3

Podemos concluir que g es una función. Dom(g)=R Ran(g)= { - 2}.

Su notación convencional corresponde:

 

3. Para k x=y 2

x

0

1

4

y

0

 

Figura 4

 

Podemos concluir que la relación k no es una función. Dom(k)= [0, ) Ran(k)=R .

Observación.

Aunque k no es una función, podemos obtener algunos subconjuntos de k que si son funciones, por ejemplo k' y k” determinados así:

Figura 5

 

dom(k')= [0, ) dom(k”)= [0, )

ran(k') = [0, ) ran(k')= ( - ¥, 0]

Ejercicio. Completar el análisis de las demás relaciones.

 

7.3.1  Imágenes directa e inversa.

Definición. Imagen directa de subconjuntos del dominio.

Sean: ; ; entonces el subconjunto formado por todas las imágenes de los elementos de C , se denomina “ imagen directa de C bajo f ” y se nota f(C) .

Por comprensión:

Consecuencias.

i)

ii)

iii)

iv)

 

Definición. Imagen inversa de subconjuntos del codominio.

Sean: ; ; entonces el conjunto formado por todas las pre - imágenes de los elementos de D , se denomina “ imagen inversa de D bajo f ” y se nota f -1 (D) .

 

Por comprensión:

Consecuencias.

i)

ii)

iii)

 

Podemos dar una representación gráfica de estos dos conjuntos, así:

Figura 6
Figura 7

 

 

 

Ilustración 3.

Dada la función: como se ilustra en el diagrama.

Figura 8

 

Determinemos los siguientes conjuntos:

1.

2.

3.

4.

5.

 

7.3.2 Algunas funciones especiales.

Estableceremos una caracterización de algunas funciones cuya aplicación en la matemática tiene gran importancia.

 

7.3.2.1 Función uno a uno (Inyectiva).

Sea: ; decimos que f es inyectiva si y solo si:

o en forma equivalente f es inyectiva si y solo si:

 

Consecuencia. f no es uno a uno si y solo si

.

 

Intuitivamente, si una función es inyectiva no puede darse que elementos distintos del dominio tengan la misma imagen. En el diagrama sagital correspondiente a una función uno a uno (1 - 1) ningún elemento del codominio puede estar asociado a más de un elemento del dominio.

 

Ilustración 4.

1. Sean f , g las funciones definidas en la gráfica.

Figura 9 - Figura 10

 

Podemos concluir que f es una función 1 - 1; pero g no es una función 1 - 1 en particular:

f(5)=f(7) 5 7.

2. Sean f y g las funciones que se definen así:

Veamos si f es inyectiva.

Supongamos: . Hipótesis

luego

en consecuencia .

Por tanto f es uno a uno.

 

Veamos si g es inyectiva.

Supongamos: . Hipótesis

esto es

y en consecuencia .

o en forma equivalente ;

que equivale a: ó

Por tanto g no es uno a uno .

 

7.3.2.2 Función Sobreyectiva (Sobre).

Sea: ; decimos que f es sobreyectiva si y solo si: