6.3.10.7 Definición. Conjuntos bien ordenados.

Un conjunto se dice que está bien ordenado por una relación de orden definida en él, o que la relación de orden es una buena ordenación para el conjunto, si todo subconjunto no vacío de él tiene mínimo; es decir es un conjunto bien ordenado si, y existe Min ( X ).

Así por ejemplo puede probarse, recurriendo al método de inducción completa que el conjunto N de números naturales está bien ordenado por la relación de orden usual. Por el contrario, la ordenación usual no confiere a R carácter de conjunto bien ordenado, ya que por ejemplo, el conjunto (1,2] no tiene mínimo.

Como consecuencias inmediatas de la definición se obtienen los siguientes resultados:

1. Un subconjunto de un conjunto bien ordenado es también un conjunto bien ordenado. En efecto: toda parte del subconjunto lo es del conjunto y, por tanto, tiene mínimo.

2. Un conjunto bien ordenado está totalmente ordenado. En efecto, para cualesquiera que sean los elementos x e y del conjunto, considerando el subconjunto que ellos forman, { x , y }, él ha de tener mínimo que será entonces uno de los elementos x ó y , luego ó .

3. Un conjunto totalmente ordenado puede no estar bien ordenado. Así, por ejemplo, el conjunto R , con la ordenación usual , está totalmente ordenado y no es un conjunto bien ordenado.

6.4 Ejercicios propuestos 6.3

1. Sean: ,

Se definen:

1.1 Definir R por extensión

1.2 Determinar R -1 .

2. Sean: , ,

Se definen:

2.1 Determinar R y S por extensión

2.2 Definir por extensión

2.3 Determinar dominios y rangos de las tres relaciones.

 

3. Sea:

Se define:

3.1 Definir a R por extensión

3.2 Graficar a R .

3.3 Clasificar a R , bajo la tipificación establecida en el numeral 5.18.

 

4. Sea:

Se define:

Verifique que R es una relación de equivalencia.

5. Dada la relación R

Demostrar que es una relación de equivalencia.

 

6. Una relación R definida en un conjunto A se llama circular si y solo si:

Demostrar que una relación es reflexiva y circular si y solo si es de equivalencia.

 

7. Demostrar que si R es una relación de A en B y , entonces:

7.1 S es también una relación de A en B .

7.2 ; .

 

8. Demostrar que es una relación de A en B .

 

9. Demostrar: Si R 1 y R 2 son relaciones de A en B , entonces:

9.1 es una relación de A en B .

9.2 es una relación de A en B .

9.3 es una relación de A en B .

 

10. Si son relaciones, dar contraejemplos para las siguientes igualdades:

10.1 .

10.2 .

10.3

10.4

 

11. Demostrar. Si son relaciones entonces:

11.1 .

11.2 .

11.3 .

 

12. Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones:

12.1 es una relación reflexiva en .

12.2 es una relación simétrica en .

12.3 es una relación antisimétrica en .

12.4 es una relación transitiva en .

 

13. Demostrar. Si y entonces es una relación transitiva en A .

 

14. Demostrar:

14.1 R es una relación reflexiva en A si y sólo si R es una relación en A e .

14.2 R es una relación simétrica en A si y sólo si R es una relación en A y .

14.3 R es una relación reflexiva en A si y sólo si R -1 es una relación reflexiva en A .

 

15. Dar un contraejemplo para cada una de las siguientes afirmaciones:

15.1 Si R es una relación reflexiva en A , entonces:

a. R es simétrica en A .

b. R es antisimétrica en A .

c. R es transitiva en A .

15.2 Si R es una relación simétrica en A , entonces:

a. R es reflexiva en A .

b. R es antisimétrica en A .

c. R es transitiva en A .

 

15.3 Si R es una relación antisimétrica en A , entonces:

a. R es reflexiva en A .

b. R es simétrica en A .

c. R es transitiva en A .

 

15.4 Si R es una relación transitiva en A , entonces:

a. R es reflexiva en A .

b. R es simétrica en A .

c. R es antisimétrica en A .

 

16. Sean: , , ,

16.1 Bajo la clasificación establecida en el numeral 5.18, clasificar cada una de las relaciones anteriores.

16.2 Determine en B una relación que sea no simétrica y no antisimétrica.

 

17. Sean: ,

17.1 Bajo la clasificación establecida en el numeral 5.18, clasificar cada una de las relaciones anteriores.

17.2 Determinar en A una relación que sea simétrica y antisimétrica.

17.3 Determinar en A una relación que sea simétrica y no antisimétrica.

17.4 Determinar en A una relación que sea no simétrica y antisimétrica.

 

18. Sean: , ,

18.1 Verifique que R es una relación de orden total en A .

18.2 Determinar el menor y el mayor elemento de A bajo R .

18.3 Determinar cotas inferiores de B bajo R .

18.4 Determinar cotas superiores de B bajo R .

18.5 Determinar cotas inferiores de C bajo R .

18.6 Determinar cotas superiores de C bajo R .

18.7 Es B un conjunto acotado?

18.8 Es C un conjunto acotado?

18.9 Determinar mínimo de B bajo R .

18.10 Determinar máximo de B bajo R .

18.11 Determinar mínimo de C bajo R .

18.12 Determinar máximo de C bajo R .

18.13 Determinar ínfimo de B bajo R .

18.14 Determinar supremo de B bajo R .

18.15 Determinar ínfimo de C bajo R .

18.16 Determinar supremo de C bajo R .

 

19. En el conjunto R de los números reales.

es una relación de orden total en R .

19.1 Sea N el conjunto de números naturales, .

Determinar para N : cotas inferiores, cotas superiores bajo la relación

 

19.2 Sea

Determinar para A : cotas inferiores, cotas superiores, es acotado?, mínimo, máximo, ínfimo, supremo.

 

20. Sean:

20.1 Bajo la relación en Z ; determinar para A : cotas inferiores, cotas superiores, Min A , Max A , Inf ( A ), Sup ( A ).

20.2 Bajo la relación en Q ; determinar para A : cotas inferiores, cotas superiores, Min A , Max A , Inf ( A ), Sup ( A ).

20.3 Bajo la relación en R ; determinar para A : cotas inferiores, cotas superiores, Min A , Max A , Inf ( A ), Sup ( A ).

 

21. Sea

21.1 Determinar conjunto de cotas inferiores de A bajo la relación en R .

21.2 Determinar conjunto de cotas superiores de A bajo la relación en R .

21.3 Determinar si existen: Min A, Max A .

21.4 Determinar si existen: Inf ( A ), Sup ( A ).

21.5 Es el conjunto A acotado?

 

22. Sea

22.1 Determinar conjunto de cotas inferiores de B bajo la relación en R .

22.2 Determinar conjunto de cotas superiores de B bajo la relación en R .

22.3 Determinar si existen: Min B, Max B .

22.4 Determinar si existen: Inf ( B ), Sup ( B ).

22.5 Es el conjunto B acotado?

 

6.5 Diagramas de Hasse

6.5.1 Definición. Elementos consecutivos.

Sea A un conjunto parcial o totalmente ordenado.

Los elementos a y b de A son consecutivos si y sólo si:

1.

2.

 

6.5.2 Representación de conjuntos ordenados.

Es posible representar un conjunto ordenado y finito, mediante un diagrama llamado de Hasse, asignando a cada elemento del conjunto un punto del plano o bien del espacio, y uniendo cada par de elementos consecutivos por medio de un vector orientado en el sentido de x a y si .

Ilustración 21.

1. Sean: ; . R es una relación de orden parcial en A ; el diagrama de Hasse correspondiente al conjunto A ordenado por R es:

 

Figura 6

 

2. Dado , en P ( A ) consideramos la relación definida así: . Esta relación es de orden parcial en P ( A ).

El correspondiente diagrama de Hasse es la siguiente representación espacial.

Figura 7

 

6.5.3 Definición. Retículo, red o láttice.

Un conjunto ordenado se dice que es un retículo (red o láttice) si todos sus subconjuntos de dos elementos tienen supremo e ínfimo, es decir, si, para cualesquiera a y a' de A existen:

e

 

Ilustración 22.

1. Todo conjunto totalmente ordenado es un retículo; en efecto, dados dos elementos cualesquiera de él, como son comparables, uno será el supremo y el otro el ínfimo del conjunto que ellos constituyen.

 

2. Dado un conjunto U , el conjunto de sus partes P ( U ), ordenado por inclusión es un retículo; en efecto, dados dos conjuntos cualesquiera A , es evidente que:

e

 

3. El conjunto de los números naturales ordenado por la divisibilidad, es un retículo; en efecto, para cualesquiera que sean los naturales positivos a y b , es

e

 

 

6.5.4 Ejercicio 6.5.3

1. Considerar el problema de la ilustración15.2 y determinar si el conjunto A es o no un retículo. Justificar la respectiva afirmación.

2. En el diagrama se ilustran las posiciones relativas de algunos órganos del aparato respiratorio.

Figura 8

 

Consideremos el recorrido del aire durante una inspiración completa y establecemos la relación: el órgano X precede al órgano Y ó X = X ; entendiéndose la precedencia como el orden en que el aire recorre los órganos indicados durante la inspiración.

 

Sea: ; donde sus elementos corresponden de acuerdo a la figura, a los respectivos órganos.

 

a. Es A un conjunto parcial o totalmente ordenado bajo la relación establecida? Justifique su respuesta.

b. Considérese una inspiración nasal únicamente, y sea . Es un conjunto parcial o totalmente ordenado bajo la relación establecida?. Justifique su respuesta.

c. Considérese una inspiración nasal únicamente, en un paciente que no presenta bronquio derecho, y sea .

i) Es A '' un conjunto parcial o totalmente ordenado bajo la relación establecida? Justifique su respuesta.

ii) Dado determinar si existen: cotas inferiores, cotas superiores, máximo, mínimo, ínfimo, supremo.

iii) Es A un conjunto bien ordenado? Justifique su respuesta.

iv) Es A un retículo? Justifique su respuesta.

v) Representar el conjunto A mediante un diagrama de Hasse.

 

d. Considérese una inspiración nasal y bucal simultáneamente en el mismo paciente anterior y sea . Responder los numerales i) a v) del literal anterior para el conjunto .

e. Considérese una inspiración bucal únicamente en el paciente anterior. Puede usted determinar el mayor conjunto que tenga como elementos órganos del aparato respiratorio y que sea totalmente ordenado por la relación definida? En caso afirmativo responder los numerales ii) a v) del literal c. , para el conjunto que usted ha determinado. Si su respuesta es negativa, justifique su posición.