17. Cada una de las fórmulas que se presentan a continuación establecen propiedades definitorias o sus negaciones, con respecto a conjuntos u operaciones entre conjuntos. Determinar en cada numeral la relación equivalente de pertenencia o no pertenencia al conjunto respectivo.

17.1 17.11
17.2 17.12
17.3 17.13
17.4 17.14
17.5 17.15
17.6 17.16
17.7 17.17
17.8 17.18
17.9 17.19
17.10 17.20

 

 

6.3.7  Relaciones definidas en un conjunto.

Definición. Relación de A en B .

Sean: A, B conjuntos. De todo subconjunto de A x B . Decimos que es una relación de A en B .

Observaciones.

1. son relaciones de A en B .

2. En particular si decimos que R es una relación de A en A ó simplemente, R es una relación en A .

 

Ilustración 6.

Sean: ;

 

Determinar cuáles de ellas son relaciones de A en B .

• 

•  ;

•  ; .

•  ; en particular ; luego R 4 no es una relación de A en B .

•  , luego .

 

6.3.8  Posibles propiedades de las relaciones definidas en un conjunto.

Antes de entrar a caracterizar estas relaciones, es importante definir una relación que tiene estructuralmente características relevantes, como se podrá observar en el desarrollo de este tema:

6.3.8.1 Definición. Relación Idéntica.

Sea A un conjunto. La relación la denominamos relación idéntica en A y la notamos .

 

Es decir:

ó

 

Consecuencias.

i)

ii)

 

Ilustración 7.

Sean ;

Determinar:

 

,

 

Ejercicio. Sea R : conjunto de los números reales.

Graficar .

 

6.3.8.2 Definición. Relación reflexiva en A .

R es reflexiva en A si y solo si .

 

Consecuencia.

R no es reflexiva en A si y solo si .

 

Ilustración 8.

Sean: ,

R 1 es reflexiva en A ; R 2 no es reflexiva en A , en particular ; es reflexiva en A .

 

6.3.8.3 Definición. Relación simétrica en A.

R es simétrica en A si y solo si

 

Consecuencia.

R no es simétrica en A si y solo si

Ilustración 9.

R 1 es simétrica en A ; R 2 no es simétrica en A , en particular y ; es simétrica en A .

 

6.3.8.4 Definición. Relación antisimétrica en A.

R es antisimétrica en A si y solo si:

 

Consecuencia.

R no es antisimétrica en A si y solo si:

.

 

Observación.

Se concluye de la definición, que la propiedad de antisimetría, no es la negación de la propiedad de simetría.

Ilustración 10.

R 1 no es antisimétrica en A ; en particular . R 2 no es antisimétrica en A , en particular . es antisimétrica en A . Obsérvese que es a la vez simétrica y antisimétrica.

 

6.3.8.5 Definición. Relación transitiva en A.

R es transitiva en A si y solo si:

 

Consecuencia.

R no es transitiva en A si y solo si:

.

 

Ilustración 11.

R 1 no es transitiva en A ; en particular . R 2 no es transitiva en A , en particular . es transitiva en A .

 

6.3.8.6 Definición. Relación de equivalencia en A.

R es una relación de equivalencia en A si y solo si:

R es reflexiva, simétrica y transitiva en A .

 

Ilustración 12.

es una relación de equivalencia en A.

R 1 y R 2 no son relaciones de equivalencia en A.

Designando , puede verificarse que R 3 es una relación de equivalencia en A .

 

6.3.9 Relaciones de Orden.

Convención. Si R es una relación y ó diremos que x , y son comparables bajo la relación R . En caso contrario diremos que x , y son incomparables.

 

6.3.9.1 Definición. Relación de orden parcial.

Sea .

Decimos que R es una relación de orden parcial en A si y solo si: R es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva en A .

Ilustración 13.

Sean: ; .

Puede verificarse que R 1 es reflexiva, antisimétrica y transitiva en A ; y en consecuencia R 1 es una relación de orden parcial en A .

6.3.9.2 Definición. Conjunto parcialmente ordenado.

Un conjunto A está parcialmente ordenado por una relación R si y solo si R es una relación de orden parcial en A . Así en la ilustración anterior, A está parcialmente ordenado por R 1 .

6.3.9.3 Definición. Relación de orden total.

Sea R una relación de orden parcial en A .

Decimos que R es una relación de orden total en A si y solamente si:

.

Esto significa que: “una relación de orden total es una relación de orden parcial en la cual todos los elementos son comparables o también en la cual cada elemento se relaciona con todos los demás”.

Ilustración 14.

Sean: , R 1 la relación definida en la ilustración anterior,

.

R 1 no es una relación de orden total en A , en particular 1 y 2 no están relacionados o no son comparables.

R 1 es una relación de orden total en A.

 

Convención.

Si R es una relación de orden total en A , entonces se lee:

x precede a y bajo R

x es primera que y bajo R

x es anterior a y bajo R

x está antes que y bajo R

 

En la ilustración anterior puede observarse que 3 es anterior a 1. 3 es anterior a 2 y 2 es anterior a 1, estableciéndose un orden en torno a la precedencia.

 

6.3.9.4 Definición. Conjunto totalmente ordenado.

Un conjunto A está totalmente ordenado por una relación R si y solamente si R es una relación de orden total en A . En la ilustración anterior A es un conjunto totalmente ordenado por R 2 .

Ilustración 15.

1. Sean:

Definimos una relación R en P(A) así:

Puede verificarse que R es reflexiva, antisimétrica y transitiva en A ; esto es, es una relación de orden parcial, más no lo es de orden total puesto que en particular { a } y { b } no están relacionados.

Esta ilustración puede generalizarse y afirmamos en consecuencia que la inclusión define una relación de orden parcial en P ( A ).

2. En el diagrama se indica un río (M) y dos de sus afluentes (B1,b2). A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , representan puertos sobre estos:

Sean:

 

Definimos una relación R en A así:

 

Figura 5

 

Determinaremos la relación R por extensión.

 

 

Puede verificarse que R es reflexiva, antisimétrica y transitiva en A , por tanto R es una relación de orden parcial en A . Es R una relación de orden total en A ? Justifique su respuesta.

Convenciones.

Debemos anotar que para designar las relaciones de orden no se suele utilizar, al igual que para las relaciones generales, el símbolo genérico R, sino que se recurre generalmente a otros como , que recuerdan el signo que se utiliza para la ordenación natural de los campos numéricos, de la cual las relaciones de orden son una generalización.

 

Obsérvese que por ser una relación reflexiva, todo elemento del conjunto A es anterior y posterior a sí mismo. Es frecuente, por generalización del símbolo en los campos numéricos, recurrir a dicho signo para representar una ordenación cualquiera de un conjunto; cuando así se haga, se expresará: en lugar de “anterior a”, “menor que”, y en vez de “posterior a “, “mayor que”.

 

La proposición (respectivamente, ) se leerá “ a es estrictamente anterior a " (respectivamente a es estrictamente posterior a ). Cuando se utilice el signo , la relación (respectivamente ) se escribirá abreviadamente en la forma (respectivamente ) y se leerá “ a es estrictamente menor que ” (respectivamente a es estrictamente mayor que ).

 

Resumiendo, A se dice ordenado por la relación si se verifican las siguientes propiedades:

 

Para indicar que A es un conjunto en el que se dispone de la relación de orden , se escribe ( A , ).

 

6.3.10 Elementos distinguidos en un conjunto totalmente ordenado.

6.3.10.1 Definición. Primer elemento de un conjunto.

a es primer elemento de A bajo R si y solo si: A está totalmente ordenado bajo R .

“El primer elemento de un conjunto totalmente ordenado es aquel que precede a todos los elementos del conjunto”.

6.3.10.2 Definición. Ultimo elemento de un conjunto.

b es último elemento de A bajo R si y solo si: A está totalmente ordenado bajo R .

“El último elemento de un conjunto totalmente ordenado es aquel que está precedido por todos los elementos del conjunto”.

Ilustración 16.

1. Dados y , vimos que:

A está totalmente ordenado por R 2 .

B es primer elemento de A bajo R 2 .

1 es último elemento de A bajo R 2 .

 

2. Dados: ; . N está totalmente ordenado por R .

1 es primer elemento de N bajo R .

No existe último elemento de N bajo R .

6.3.10.3 Definición. Cotas inferiores y superiores de un conjunto.

Sean: A un conjunto totalmente ordenado bajo R , ; .

1. a es cota inferior de B bajo R si y solo si:

“ Una cota inferior de un subconjunto es aquel (aquellos) elemento(s) de A ; que precede(n) a todos los elementos del subconjunto ”.

2. b es cota superior de B bajo R si y solo si:

“ Una cota inferior de un subconjunto es aquel (aquellos) elemento(s) de A ; que están precedido(s) por todos los elementos del subconjunto ”.

 

Ilustración 17.

1. Con referencia al conjunto A y a la relación R 2 de la ilustración anterior; Sea , .

Cotas inferiores de B : 3

Cotas superiores de B: 1, 2.

 

2. Con referencia al conjunto N y a la relación R de la ilustración anterior. Sean: , .

Cotas inferiores de B : 1, 2, 3, 4, 5

Cotas superiores de B : 9, 10, 11, ... esto es: .

Cotas inferiores de C : 1,2.

No tiene cotas superiores.

 

6.3.10.4 Definición. Mínimo y máximo de un conjunto.

Sean: A un conjunto totalmente ordenado bajo R , ; .

1. n es elemento mínimo de B , si y solo si:

es cota inferior de B .

En este caso lo indicamos: n= Min B .

2. m es elemento máximo de B , si y solo si:

es una cota superior de B .

En este caso lo indicamos: m = Max B .

 

Ilustración 18.

1. Con relación a la ilustración 23, en el conjunto ; el subconjunto y la relación R 2 podemos afirmar que:

3= Max B

2= Min B

 

2. Con relación al conjunto N , el subconjunto B y el subconjunto C , bajo la relación R podemos afirmar que:

5= Min B ; 9= Max B

2= Min C ; no tiene elemento máximo

 

6.3.10.5 Definición. Infimo y Supremo de un conjunto.

Sean: A un conjunto totalmente ordenado bajo R , ; .

1. a es elemento infimo de B bajo R si y solo si:

a es cota inferior de B bajo R

Notación: Inf ( B )= a .

2. b es elemento Supremo de B bajo R si y solo si:

b es cota superior de B bajo R

Notación: Sup ( B )=b.

El Infimo de un conjunto es la cota inferior que está precedida por todas las cotas inferiores del conjunto. El Supremo de un conjunto es la cota superior que precede a todas las cotas superiores del conjunto.

 

Ilustración 19.

1. Con relación a la ilustración 23, en los conjuntos A y B y la relación R 2 Inf ( B )=3, Sup ( B )=2.

2. Con referencia a la ilustración 23, el conjunto N y los subconjuntos B y C bajo la relación R , podemos afirmar:

Inf ( B )=5; Sup ( B )=9

Inf ( C )=2; Sup ( C ): no tiene.

 

6.3.10.6 Definición. Conjuntos acotados.

Sean: A un conjunto totalmente ordenado por R , ; .

1. B es acotado inferiormente bajo R si y solo si:

existe al menos una cota inferior de B bajo R .

 

2. B es acotado superiormente bajo R si y solo si:

existe al menos una cota superior de B bajo R .

 

3. B es acotado bajo R si y solo si:

B es acotado inferior y superiormente bajo R .

 

Ilustración 20.

1. Con referencia al numeral 1 de la ilustración 23, el conjunto B es acotado.

2. Con referencia al numeral 2 de la ilustración 23, el conjunto B es acotado; el conjunto C es acotado inferiormente pero no lo es superiormente.ç