6.1 Introducción

En el estudio que hemos adelantado hasta el momento, hemos tenido la oportunidad de observar en todo su esplendor, el lenguaje de la lógica proposicional y cuantificacional en la construcción de la teoría de conjuntos.

Cuando se afirma a su vez que la teoría de conjuntos es el lenguaje de la matemática, entra en juego un conjunto que podemos considerar como el núcleo generador de este lenguaje, y que corresponde al par ordenado. Este a su vez nos permite fundamentar un conjunto de importancia trascendental en el esquema de la matemática moderna: las relaciones binarias. Mediante ellas es posible vincular elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y según sea el tipo de conexión se tienen las distintas clases de relaciones que soportan el maravilloso edificio de la matemática. Esta es la razón por la cual, aunque estamos trabajando sobre el mismo tema, su importancia amerita un capítulo aparte.

6.2 Par ordenado. Producto cartesiano

Definición. Par ordenado.

Definimos un conjunto de dos elementos en el cual se tiene en cuenta el orden de sus elementos . Este conjunto se denomina “ par ordenado de componentes a y b ” y se nota ( a , b ). Esto es:

Teorema 1.

 

Observaciones.

1. Es claro que si entonces . En efecto y obviamente .

2. Dado decimos que a es la primera componente y b es la segunda componente del par ordenado.

3. . Justificar esta afirmación.

 

Definición. Producto Cartesiano.

Sean A y B conjuntos.

Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B , lo denominamos “producto cartesiano de los conjuntos A y B ” y lo notamos A x B .

Este conjunto lo notamos por comprensión así:

 

Consecuencias.

i)

ii)

 

Observación.

Para facilitar el manejo del producto cartesiano, utilizaremos la siguiente notación abreviada:

 

Consecuencias.

i)

ii)

 

Representaciones gráficas particulares del producto cartesiano.

En el conjunto de los números reales.

Existe una correspondencia biunívoca entre y el conjunto de puntos del plano cartesiano.

Ilustración 1.

1. Sean: ; .

Determinar y representar en el plano cartesiano los siguientes conjuntos:

; ; ;

 

 

 

Figura 1

 

2. Sean , .

Determinar y representar en el plano cartesiano.

; ; ; .

 

 

Figura 2

 

Observaciones.

1. Es importante resaltar la diferencia entre las representaciones correspondientes a conjuntos finitos y las respectivas a los conjuntos infinitos.

2. Es fundamental tener presente que en la representación de un conjunto en el plano cartesiano, todo punto es la representación de un par ordenado y viceversa.

 

Teorema 2. Propiedades del producto cartesiano.

Sean: A , B , C , D , X , Y conjuntos, entonces:

 

1. Si y entonces

2. si y solo si .

3. Si entonces

4.

5.

6.

7.

 

Demostración de 1.

Supongamos: Hipótesis 1

Supongamos: Hipótesis 2

esto es consecuencia def. pcto. Cartesiano

luego ; pero de la hip. 1 se tiene que y también

en consecuencia es decir

Conclusión:

 

Demostración de 4.

Consec. def. pcto. Cartesiano

Consecuencia def. de intersección

Equivalencia

Equiv. Leyes conm y asoc.

Consec. def. pcto. cartesiano

Consecuencia def. intersección

G.U. Axioma de extensión.

 

Ejercicio. Demostrar los numerales: 2, 3, 5, 6, 7.

 

6.3  Relaciones

Definición. Relación.

Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. Así:

 

Notación.

Si R designa una relación y , lo notamos también como: xRy, y se lee “ x está relacionado con y bajo la relación R ”. La negación la notamos también xy .

Así para el ejemplo anterior:

esto es

esto es

 

6.3.1 Representación de una relación.

Sea R una relación. En el caso de conjuntos finitos podemos utilizar las siguientes formas de representación.

1. Notación conjuntista (extensión y/o comprension)

2. Mediante diagramas de Venn

3. Mediante un gráfico cartesiano. En este caso se consideran como abscisas las primeras componentes y como ordenadas las segundas componentes. Mediante paralelas a los ejes trazados por los puntos de división se forma una cuadrícula cuyos elementos son los vértices de un producto cartesiano; de estos se señalan los que pertenecen a la relación R .

4. Mediante una matriz. Sobre una columna se anotan los elementos correspondientes a las primeras componentes y sobre una fila las correspondientes a las segundas. En el extremo superior izquierdo se coloca el designante de la relación. En la intersección entre el elemento correspondiente a una fila y el respectivo de la columna se coloca 1 si están relacionadas y 0 si no lo están.

Ilustración 2.

Representemos la relación R 2 .

 

Figura 3

 

6.3.2 Definición. Relación inversa.

Sea R una relación. Definimos la relación inversa de R y la notamos R -1 , al conjunto con la siguiente propiedad:

Consecuencias.

i)

ii)

 

Ilustración 3.

Para las relaciones R 1 y R 2 , presentadas anteriormente se tiene:

 

;

 

6.3.3 Definición. Relación compuesta.

Sean R, S relaciones. Definimos “la relación compuesta de S y R” y la notamos , al conjunto con la siguiente propiedad:

 

Consecuencias.

i)

ii)

 

Ilustración 4.

Sean:

 

Determinemos: y

Figura 4

 

Observación.

De la ilustración anterior se concluye que la composición de relaciones no es conmutativa.

 

Teorema 3.

Sean: G, H, J relaciones, entonces:

 

1.

2.

3.

 

Demostración de 3.

Probemos que

Supongamos: Hipótesis 1

esto es consecuencia definición de inversa

que equivale a def. de compuesta

Supongamos . Hipótesis 2.

Esto es , que equivale a

. Consecuencia de la inversa.

Por tanto

. Traslado del existencial.

pero esto equivale a . Consecuencia def. de compuesta

luego

y en consecuencia:

Ejercicio. Demostrar la inclusión recíproca y los numerales 1 y 2.