Continuación

Todos los mamíferos son vertebrados.

Todas las aves son vertebrados .

Todas las aves son mamíferos.

2) Todo V es S

Todo V es A

Todo A es S. El término A es antecedente en la conclusión, pero no lo es en la premisa donde figura (premisa menor) violando la regla 2 y en consecuencia este silogismo (AAA - 3) es inválido .

Un ejemplo de esta estructura es:

Todos los vertebrados tienen reproducción sexual.

Todos los vertebrados son animales.

Todos los animales tienen reproducción sexual.

Ejercicios propuestos 4.8.3.

Para cada uno de los siguientes silogismos, colocarlo en la forma estándar, identificar su modo y figura (código) y utilizando las reglas de validez, determine si es o no válido.

1.  Todos los tigres son fieras,

todas las fieras son temibles,

todos los tigres son temibles.

2. Toda ave es ovípara,

algún ovíparo no es insecto,

Algún insecto no es ave.

3. Algún niño no es alegre,

algún joven no es alegre,

Algún joven no es niño.

4. Todos los cirujanos son médicos,

algunos médicos juegan tenis,

algunos que juegan tenis son cirujanos.

5. Algunas aves son pelícanos;

todos los patos son aves,

algunos patos son pelícanos.

6. Algunos hombres son neuróticos,

todos los neuróticos son agresivos,

Algunas personas agresivas son hombres.

7. Todo envidiosos es mal amigo,

algún actor es envidioso,

algún actor es mal amigo.

8. Todo mamífero es vertebrado,

ningún insecto es vertebrado,

ningún insecto es mamífero.

9. Ningún mamífero tiene plumas,

todas las aves tienen plumas,

ningún mamífero es ave.

10. Ningún pez tiene respiración pulmonar,

algunos animales tienen respiración pulmonar,

algunos animales no son peces.

11. Todos los hombres virtuosos son felices,

algunos hombres virtuosos son pobres,

algunos pobres son felices.

12. Las iglesias protestantes no aceptan la autoridad del Papa. Puesto que los budistas no aceptan la autoridad del Papa, es porque los budistas son protestantes.

13. Algunos de los estudiantes de esta clase son jóvenes, y por supuesto ningún joven se graduará este año. Por tanto ningún estudiante de esta clase se graduará este año.

14. Algunas cosas bien hechas no son caras, algunos textos no son caros, por lo tanto deben estar bien hechos.

15. Algunas aves vuelan, ningún mamífero es un ave; en consecuencia ningún mamífero vuela.

4.8.4 Método gráfico para probar la validez de un silogismo.

Un método interesante para la determinación de la validez de un silogismo, es el método del diagrama, establecido por el lógico inglés John Venn (1.834 - 1.883) y conocido como diagramas de Venn.

Si consideramos una función proposicional, recordaremos que su dominio está dividido en dos conjuntos disjuntos: el conjunto de verdad y el de no verdad. Lo anterior se ilustrará mediante un rectángulo que representa el dominio y un área del mismo, limitada por una circunferencia que representa el conjunto de verdad. Así en la función proposicional designada como P x con dominio D ; su representación gráfica se da en la figura 1.


Figura 1

Convenciones para la diagramación.

  1. Para representar la proposición con valor de verdad verdadero, se sombrea la región del dominio que no pertenece al dominio de verdad de la función proposicional. Ver figura 2.
  2. Para representar la proposición con valor de verdad verdadero, se indica mediante una “X” que el conjunto de verdad P x es no vacío. Ver figura 3.

    Veamos ahora la representación de las cuatro formas categóricas.

    Universal afirmativa y su negación: A y O

Universal negativa y su negación: E e I

Observación.

•  Utilice la cuantificación restringida para indicar con mayor facilidad, las formas categóricas.

 

•  Como puede apreciarse a través de las figuras anteriores, cada diagrama de Venn tiene su equivalente, tal como se estableció en la negación de proposiciones cuantificadas; esto es:

 

Aplicación del método del diagrama a silogismos.

Analicemos la siguiente argumentación.

Todos los hombres son mortales.

Todos los presidentes son hombres .

Por tanto, todos los presidentes son mortales.

Representación simbólica (Código A A A - 1).

Puede observarse que el dominio común a todas las funciones proposicionales es el conjunto de todos los humanos.

Para construir el diagrama, llevamos primero la información suministrada por las dos premisas como se indica en la figura 8, donde el punteado corresponde a la proposición 1 y el rayado a la proposición 2.

Ahora la conclusión válida debemos leerla en el diagrama tomando el término presidentes como sujeto y mortales como conclusión, para lo cual sus conjuntos respectivos se destacan en un rectángulo en la figura 9.

 

Interpretación de resultados.

Observamos ahora en las regiones P y M que, de las cuatro formas categóricas, se encuentra diagramada la universal afirmativa “ todos los presidentes son mortales ”.

Resumiendo, podemos decir que “Es suficiente diagramar las premisas de un argumento válido para que quede diagramada también su conclusión, sin agregar trazos adicionales en los círculos”.

Ilustración 13.

Graficar la siguiente argumentación.

Ningún pato es tigre.

Todos los tigres son carnívoros .

Por tanto, algunos carnívoros no son patos.

Representación simbólica. (Código EAO -3 ).

Aplicando el método del diagrama, podemos observar que la conclusión no es válida, puesto que la región correspondiente a la conclusión, no aparece diagramada.

Ilustración 14.

Graficar la siguiente argumentación.

Ningún ave es un cuadrúpedo.

Todos los osos son cuadrúpedos

En consecuencia: ningún oso es un ave.

Representación simbólica. (Código EAE - 1)

Aplicando el método del diagrama, podemos observar que la conclusión es válida, puesto que la región correspondiente a la conclusión, ha quedado diagramada.

Ilustración 15.

Graficar la siguiente argumentación.

Todo mamífero es un vertebrado

Todo mamífero es un animal de sangre caliente.

En consecuencia, hay un animal de sangre caliente que es vertebrado.

Representación simbólica. (Código AAI - 3)

Aplicando el método del diagrama, podemos observar que la conclusión no es válida, puesto que la región correspondiente (existencia) a la conclusión, ha quedado vacía.

4.8.5 Ejercicios propuestos 4.8.4.

  1. Utilice los diagramas de Venn, para determinar la validez de los siguientes argumentos. Confronte su resultado utilizando las reglas de validez respectivas.

•  Todo M es P

Algún S es M

Algún S es P

 

 

1.9 Algún M es P

Algún M no es S

Algún S no es P

 

1.2 Ningún M es P

Algún S no es M

Algún S es P

 

 

1.10 Todo P es M

Algún M es S

Algún S es P

 

1.3 Ningún M es P

Algún M no es S

Algún S es P

 

 

1.11 Ningún P es M

Todo M es S

Ningún S es P

 

1.4 Algún P es M

Ningún S es M

Algún S no es P

 

 

1.12 Algún M es P

Ningún M es S

Algún S no es P

 

1.5 Ningún P es M

Todo S es M

Ningún S es P

 

 

 

 

1.13 Ningún P es M

Algún S es M

Algún S no es P

 

1.6 Ningún M es P

Todo M es S

Algún S no es P

 

 

1.14 Algún M no es P

Todo M es S

Algún S no es P

 

1.7 Todo M es P

Algún S no es M

Algún S no es P

 

 

1.15 Algún M es P

Todo S es M

Algún S es P

 

1.8 Todo P es M

Algún S no es M

Algún S es P

 

 

 

2. Llevar los silogismos siguientes a la forma estándar, identificar modo y figura y determinar su validez o invalidez, utilizando las reglas de inferencia o los diagramas de Venn (tenga presente, al organizar la forma estándar, la posición de los tres términos básicos).

2.1 Algunas democracias son tiranías, porque cualquier estado que ignore los derechos humanos es una tiranía, y algunas democracias ignoran los derechos humanos.

2.2 Las amibas no son vegetales, porque ellas tienen capacidad de locomoción y ninguna planta tiene capacidad de locomoción.

2.3 Música no es lo mismo que ruido: la música es una progresión ordenada de sonidos, el ruido lo es desordenada.

2.4. Algunos conflictos internacionales surgen de motivos honestos, pero las guerras de invasión no surgen de esta forma. Por tanto algunas guerras de invasión no son conflictos internacionales.

2.5 Algunos políticos son deshonestos, pero los políticos por naturaleza dependen de su reputación, y algunas personas que dependen de su reputación son deshonestos.

2.6 Todos los grandes genios son excéntricos, pero ninguno de ellos es negligente. Entonces algunas personas excéntricas no son negligentes.

2.7.Ninguna corporación sin ánimo de lucro vende acciones, pero algunas corporaciones hospitalarias venden acciones, en consecuencia ellas no son corporaciones sin ánimo de lucro.

2.8  No todas las personas que asisten al curso presentaron examen de admisión. Todos los asistentes al curso tienen título de pregrado. Luego no todos los que tienen título de pregrado, presentaron examen de admisión.

3. Para cada uno de los modos y figuras, de un ejemplo de un silogismo presentado en forma estándar. Trate de encontrar tres términos básicos S, P, M que hagan plausible su argumento.

3.1  AAA - 1

3.2 AEE - 2

3.3 IEO - 3

3.4 EIO - 3

3.5 EAE - 1

4.  Para cada una de las proposiciones que se dan a continuación:

a) Identifique el sujeto y el predicado.

b) Utilice géneros o especies con relación al sujeto como término medio, y construya un silogismo que tenga como conclusión esta proposición.

4.1  Los electrones no viajan más rápido que la velocidad de la luz.

4.2 Todas las plantas necesitan agua.

4.3 Algunos métodos de investigación no son éticos.

4.4 Algunos animales son domésticos.

5. Utilizar la teoría sobre el silogismo categórico, en particular las reglas de validez, para verificar por qué las siguientes afirmaciones son verdaderas.

5.1  Un silogismo válido en la segunda figura debe tener una conclusión negativa.

5.2 En un silogismo válido de la primera figura, la premisa menor debe ser afirmativa.

5.3 En un silogismo válido de la tercera figura, la conclusión debe ser particular.

5.4 Un silogismo con dos premisas existenciales es no válido.

5.5 Si cualquier premisa de un silogismo válido es particular, la conclusión también debe ser particular.

4.9 La lógica de las relaciones

Funciones proposicionales binarias.

Designamos en esta forma una función proposicional en la cual al predicado está asociado un sujeto o término. Así por ejemplo la proposición:

"Aristóteles fue maestro de Alejandro".

Este tipo de predicados expresa una relación entre los objetos o términos. Aquí observamos dos términos que son Aristóteles y Alejandro; no obstante en este caso los términos no ocupan el lugar del sujeto gramatical ya que "Alejandro" hace parte del predicado gramatical.

Cuando, como en el ejemplo, la relación se establece entre dos individuos, se le llama binaria o diádica .

Otras relaciones pueden establecerse entre tres o más términos. Por ejemplo: " x es hijo de a y b "; " x está entre a y b ".

Notación.

La proposición "Aristóteles fue maestro de Alejandro", la cual simbolizamos por M ab o a M b es el resultado de una sustitución en la función proposicional:

" x fue maestro de y "

Esta función proposicional se simboliza M xy o x M y .

Cuando se efectúa la sustitución, es necesario conservar el orden de la escritura, de tal forma que el término que entra a sustituir la variable ocupe el lugar exacto de ésta. Así, si en lugar de escribir M ab escribimos M ba , la proposición representada es:

"Alejandro fue maestro de Aristóteles"

Dada una función proposicional en dos variables, es posible convertirla en una proposición mediante una de las siguientes formas:

a)  Especificando sus variables, esto es sustituyendo cada variable por un término específico (constantes).

b) Cuantificando universalmente cada variable.

Ilustración 16.

Dada la función proposicional M xy : “ x fue maestro de y ”, las diferentes formas de obtener una proposición a partir de ella son:

•  Aristóteles fue maestro de Alejandro; que designamos

•  Todos fueron maestros de todos; que designamos .

•  Todos fueron maestros de alguno; que designamos .

•  Alguno fue maestro de todos; que designamos .

•  Alguno fue maestro de alguno; que designamos .

•  Carlos fue maestro de todos; que designamos .

•  Carlos fue maestro de alguno; que designamos .

•  Todos fueron maestros de Carlos; que designamos .

•  Alguno fue maestro de Carlos; que designamos .

Ejercicios propuestos 4.9

  1. Para cada una de las proposiciones siguientes, representar la función proposicional de la cual procede.

1.1 Federico es amigo de Carlos.

1.2 Ana es prima de Bernardo.

1.3 Luis es hermano de Felipe.

1.4 José es el padre de Fernando.

1.5 Alejandro es el profesor de Paula.

1.6 Sergio es el pediatra de Laura.

2. Para cada una de las funciones proposicionales del numeral anterior, indicar todas las formas posibles como puede convertirse en una proposición, y exprese en el lenguaje ordinario su significado.