2.1. Introducción

Iniciamos ahora nuestro trabajo específico en el cálculo proposicional, con la construcción de un lenguaje preciso, libre de ambigüedades, que nos permita desde sus bases, la consolidación de una estructura dinámica, pero rigurosa y a prueba de inconsistencias.

2.2 El lenguaje

Nos servimos del lenguaje en las más diversas formas: para hacer preguntas, dar órdenes, expresar deseos y también para hacer afirmaciones acerca de los objetos. Es decir, enunciar hechos o describir situaciones. De una pregunta no tiene sentido preguntarse si es verdadera o falsa. Ejemplo:

"¿Quién desea ayudarme?"
¿Qué hora es?,

no son, en cuanto tal, ni verdaderas ni falsas. Tampoco lo son expresiones como:

¡Siéntese aquí!
¡Váyase!

En cambio, de las afirmaciones que hacemos acerca del mundo, sí tiene sentido preguntarse por su verdad o falsedad. Este uso del lenguaje se denomina: enunciativo, indicativo, asertórico. La lógica actual, se ocupa de este tipo de discurso. Es decir, de aquel cuyos enunciados son, o bien verdaderos o bien falsos.

Las siguientes expresiones:

“Pedro fue al colegio”
“Peter went to the college”

son distintas en cuanto que son diferentes trazos sobre el papel. Sin embargo, dicen lo mismo. Es decir, enuncian una misma proposición.

Se entiende por proposición el contenido trasmitido en una oración hecha en modo indicativo. Se empleará el término proposición o enunciado indiferentemente.

Se puede decir, que la lógica es la ciencia de los principios de inferencia o razonamientos formalmente válidos. Lo específico de un razonamiento o inferencia consiste en derivar una conclusión a partir de unas premisas siguiendo una regla de inferencia dada, llamada modus ponens . De esta conclusión se dice que es formalmente válida, es decir, que si sus premisas son verdaderas entonces la conclusión también es verdadera. La lógica se ocupa de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que la componen.

En todo razonamiento, es posible diferenciar la forma del contenido. Así, por ejemplo:

Si llueve, entonces no iré al teatro.
Si pago las deudas, entonces no tendré problemas.

Son dos enunciados de contenidos diferentes. Su forma sin embargo, es la misma. Su estructura se representa así:

Si ______, entonces no _____

 

Se puede llenar el espacio vacío con letras mayúsculas, que representarán el contenido de los enunciados quedando la expresión así:

Si P entonces no Q

A la lógica le interesa únicamente la forma de los razonamientos. A esto se le denomina lógica formal o ciencia de las formas o esquemas válidos de razonamientos. La lógica ha de hacerse con un lenguaje en el cual la forma aparezca aislada, y en el que la estructura del razonamiento se muestre sola.

2.3 Cálculo proposicional

2.3.1 Simbolización de Proposiciones

Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le da un nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si... entonces..., si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una proposición compuesta . Los términos de enlace, "y", "o", "si...entonces", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición. Ejemplo:

Hoy es jueves
Hay clases de matemáticas

Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas tales como:

Hoy es jueves y hay clases de matemáticas.
Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.
Si hoy es jueves, entonces hay clases de matemáticas.
Hoy no es jueves.

La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva. Ejemplo:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.

Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden escribirse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letras latinas mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea:

P: Hoy es jueves.
Q: Hay clase de Matemáticas.

Luego la proposición:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas

se simboliza así:

P y Q

En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una "," en vez del término de enlace "y". Ejemplo:

Fuí a la feria, pero no hice compra alguna.
Inés está enferma, el martes iré a visitarla.

En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o".

Es tarde o está muy oscuro.

Otro giro de "o" es:

O es tarde o está muy oscuro.

En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es:

Cuando se usa el término de enlace: si,... entonces... se obtiene la siguiente forma:

 

Ejemplo:

Si madrugo entonces llego temprano.

En este ejemplo puede suprimirse la palabra "entonces" y reemplazarse por una "," así:

Si madrugo, llego temprano.

Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposición compuesta. Ejemplo:

El día no está caluroso

Puede presentarse como:

No ocurre que el día esté caluroso.

Su forma es:

También se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:

Para la "y" se utiliza el símbolo .

Para la "o" se utiliza el símbolo .

Para el "no" se utiliza el símbolo ¬ .

Para el "si, ... entonces ..." se utiliza el símbolo

Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo .

Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y" es una conjunción . Si el enlace se hace mediante la conectiva "o" es una disyunción . Si se usa el término "no" es una negación. Cuando la conectiva es "si,.... entonces.." es una proposición condicional , y si utiliza "si y sólo si" se tiene un bicondicional.

En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo a la posición de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis. Ejemplo:

O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, se refugiaron en las montañas. Este texto se simboliza de la siguiente forma:

P : Los soldados encontraron cerrado el paso.

Q : Los soldados temieron un ataque enemigo.

R : Los soldados se refugiaron en las montañas.

La proposición compuesta es:

la cual tiene un sentido distinto de la proposición

.

Cuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. La convención es:

y dominan a y .

Así: significa

significa .

Con esta convención no está claro lo que significa por ejemplo:

ó .

Aquí es necesario usar paréntesis para aclarar, en el primer caso, si se trata de

ó .

y en el segundo caso, diferenciar entre

y .

2.3.2 Signos definidos

En adelante, designaremos también a las proposiciones con el nombre de fórmulas, término más usado para las proposiciones matemáticas.

Una vez establecidas las reglas de formación para fórmulas se pueden introducir abreviaciones con el fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de las definiciones matemáticas.

Definición: Sean R y S fórmulas, entonces:

•  La fórmula ¬ ( ¬ R ¬ S) se denota abreviadamente como R S y se llama conjunción lógica de R y S, la cual se lee "R y S".

•  La fórmula ¬ R S se denota como y se llama condicional de R y S. La figura lógica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si ...., entonces ...". Para leer una proposición de la forma , se puede usar alguna de las siguientes expresiones:

Si R entonces S.

R es suficiente para S.

S es necesario para R.

S siempre que R.

R sólo si S.

 

A la fórmula R se le llama antecedente , y a la fórmula S consecuente . Cuando el condicional es lógicamente verdadero se dice que existe implicación y en este caso se lee la expresión como:

R implica S

la cual se denota:

•  La fórmula ( ) ^ ( ) se denota por y se llama bicondicional de R y S. Esta expresión se puede leer como:

R si y sólo si S

R es suficiente y necesario para S.

Cuando el bicondicional es lógicamente verdadero, se dice que hay equivalencia . En este caso, se lee:

R equivale a S

y se denota:

Nota: Los criterios para decidir sobre la verdad del condicional y el bicondicional se verán mas adelante.

2.3.3 Ejercicios propuestos 2.3

  • Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones simples sustituidas por cada letra mayúscula.
    1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.
    2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.
    3. O Jaime no es puntual o Tomás llega tarde.
    4. Ni Antonio ni Ana estudian en la Universidad.
    5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
    6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.
    7. A la vez si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.
    8. Patinaremos si y sólo si el hielo no es demasiado delgado.

 

  • Si P , Q , R , S designan las proposiciones:

P: Juan viajó en el avión de las 8 a.m.

Q: Pedro llegó a tiempo al aeropuerto.

R: El proyecto se expuso ante la junta directiva.

S: El vuelo se retrasó

expresar en el lenguaje ordinario las siguientes proposiciones:

• 

• 

• 

• 

• 

Analizar cuáles de ellas tienen el mismo significado.

•  Expresar en función de los signos definidos requeridos las fórmulas:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

¿Encuentra usted alguna ventaja en esta última presentación?

 

2.4 Tablas de verdad

2.4.1 Interpretación en el lenguaje ordinario

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos, ¬ ,
como: no, o, y, si ... entonces, si y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1 (uno) a una proposición verdadera y 0 (cero) a una proposición falsa.

Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son verdaderas, la conjunción es verdadera.

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Bicondicional: El bicondicional solamente es verdadero si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

Nota: Con respecto a la proposición condicional es importante hacer notar que este tipo de enunciado lo único que dice es que cuando se da el antecedente tiene que darse el consecuente, si esto no ocurre no se obliga a nada, es decir, el consecuente puede o no darse.

Se denomina tautología una proposición que es verdadera para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.

2.4.2 Ejercicios propuestos 2.4

1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes?

 

2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?

•  Si P es falsa.

•  Si P es falsa, Q verdadera y R verdadera.

 

3.  Sean P, Q y R fórmulas, entonces:

•  Si es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q ?

•  Si es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q ?

•  Si es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R ?

•  Si es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R ?

•  Si es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R ?

4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías:

5. Con relación al ejercicio 2.2, 2; analizar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, bajo las siguientes condiciones:

  1. P es verdadera, Q es falsa.
  2. P es falsa, Q es falsa
  3. P es verdadera, S es verdadera.
  4. Q es falsa, S es verdadera.
  5. P es verdadera, R es verdadera
  6. R es verdadera.

6. Con relación al ejercicio 2.2, 2; asumiendo que la proposición en cada numeral es falsa, que puede concluir en cada caso de las proposiciones P , Q , R y S ?

2.5 Implicaciones asociadas a

Considerando como implicación directa, están asociadas las siguientes implicaciones:

llamada implicación recíproca .

llamada implicación contrarrecíproca .

llamada implicación contraria .

Ejercicios propuestos 2.5

  1. Para cada enunciado escriba su recíproco, contrario y su contrarrecíproco.

•  Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rombo.

•  Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.

•  Si una figura plana es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.

•  Si una figura plana es un rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares.

•  Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces es isósceles.

•  Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

•  Si un triángulo es equilátero, entonces, es isósceles.

•  Si un triángulo es rectángulo, entonces, tiene dos ángulos agudos.

•  Si dos rectas distintas son paralelas, entonces, su intersección es el conjunto vacío.

2. ¿Con relación al ejercicio anterior, que puede observarse sobre el valor de verdad de los respectivos recíproco, contrario y contrarrecíproco respecto de la implicación principal?