1.1- Introducción

Las consideraciones del capítulo anterior, nos conducen a centrar nuestra atención en algunos aspectos fundamentales en el desarrollo de la lógica, como son:

  • La necesidad de un lenguaje preciso, libre de ambigüedades.
  • La elaboración de argumentaciones coherentes que nos permitan obtener decisiones respaldadas.
  • La determinación de criterios que nos permita fijar el peso de una evidencia en una argumentación específica.
  • La adquisición de conocimientos para determinar lo verdadero (la verdad como consenso). (Ver documento de referencia).
  • La objetividad como una actitud de vida.

Por esta razón iniciaremos el trabajo con algunos elementos del lenguaje. Los demás aspectos se tratarán en el desarrollo del texto.

1.2 - Lenguajes formales

Se designa en esta forma a un lenguaje que se define completamente sin que haya necesidad de darle interpretación alguna.

Un lenguaje formal puede identificarse con el conjunto de sus fórmulas bien formadas (que se llamarán también fórmulas o abreviadamente fbfs).

Una fórmula a su vez es un objeto abstracto, es una marca, o una hilera de marcas. Dos cadenas diferentes de marcas pueden ser muestras de la misma fórmula.

El conjunto de las fórmulas bien formadas de un lenguaje formal específico viene determinado por una decisión de su creador, que se limita a dejar establecido qué cosas tienen que ser fbfs de su lenguaje.

Ordinariamente, para definir un lenguaje formal se requiere:

  • Designar explícitamente el conjunto de símbolos (el alfabeto) del lenguaje.
  • Designar explícitamente el conjunto de reglas de formación que determinan qué secuencias de símbolos del alfabeto, son fórmulas bien formadas (fbfs) del lenguaje.

La designación de los conjuntos anteriores debe hacerse sin apelar en ningún momento a una interpretación cualquiera.

Ilustración 1

  1. El lenguaje T se define de la siguiente forma:
    Alfabeto: + *
    Fórmulas bien formadas: todo cadena finita de símbolos del alfabeto de T que comience con '+' es una fbfs.
    Podemos afirmar que T es un lenguaje formal.
    Dadas las fórmulas: a) +++; b) +***; c) *+++; d) +; +* - *.
    ¿Cuáles de ellas son fbfs?
  2. El lenguaje R se define de la siguiente forma:
    Alfabeto:
    ¿Es R un lenguaje formal?
  3. El lenguaje S se define de la siguiente forma:
    Alfabeto: a b c d e f g
    Fórmulas bien formadas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto de S que dé lugar a una palabra castellana es una fbfs.
    ¿Es S un lenguaje formal?
    Podemos afirmar que no; puesto que no se cumple la condición 3 de la definición de lenguaje formal. Específicamente, la condición fijada para la determinación de fbfs exige en este caso una referencia al significado, ya que una cosa es una palabra castellana sólo si tiene un significado.
  4. El lenguaje P se define de la siguiente forma:
    Alfabeto: a b c d e f
    Fórmulas bien formadas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto P que no de lugar a una palabra castellana es una fbfs.
    ¿Es P un lenguaje formal?

Establecido un lenguaje formal específico, podemos pasar a hacer una o ambas de las dos cosas siguientes:

  1. Podemos definir la noción de una interpretación del lenguaje . Esto nos lleva a la teoría de modelos.
  2. Podemos especificar para el lenguaje un mecanismo deductivo . Esto nos lleva a la teoría de la demostración.

1.3 - Teoría de modelos

En un sentido amplio, una interpretación de un lenguaje formal es una asignación de significados a sus símbolos y/o a sus fórmulas. La teoría de modelos es la teoría de las interpretaciones de los lenguajes formales.

Entre los conceptos de la teoría de modelos se encuentran los de verdadero para una interpretación, consecuencia semántica (o consecuencia desde el punto de vista de la teoría de modelos) y validez lógica que precisaremos posteriormente.

Ilustración 2

Demos una interpretación al lenguaje formal T así:
‘+' significa el dígito decimal ‘1', ‘*' significa el dígito decimal ‘0'.
En esta forma, cada fórmula corresponderá a una cifra decimal compuesta exclusivamente de unos y ceros, comenzando siempre por uno.

Por ejemplo:

+++ significa 111
+*** significa 1000

Esto muestra que, en un sentido muy amplio de ‘interpretación', una fórmula interpretada no tiene por qué constituir una proposición, en donde entendemos por ‘proposición' una oración que expresa algo verdadero o falso. Puede ser como se ilustra aquí, el nombre de algo. O puede ser un adjetivo, o un adverbio, o una preposición, o una frase, o una oración imperativa o una cadena de nombres.

1.4 - Mecanismos deductivos. Sistemas formales. Teoría de la demostración

Mediante la especificación de un mecanismo deductivo para un lenguaje formal, obtenemos un sistema formal. Un sistema formal S es un lenguaje formal L junto con un mecanismo deductivo que viene dado por:

  1. El establecimiento, explícito, por decreto, de que ciertas fórmulas de L han de ser axiomas de S, y/o
  2. El establecimiento explícito, por decreto, de un conjunto de reglas de transformación (llamadas también reglas de inferencia ) que determina qué relaciones entre fórmulas de L constituyen relaciones de consecuencia inmediata en S (Intuitivamente, las reglas de transformación autorizan la derivación de algunas fórmulas a partir de otras).
  3. La designación de los conjuntos anteriores debe hacerse sin apelar en ningún momento a una interpretación cualquiera.

Observación.

Un mecanismo deductivo consta de axiomas y reglas de inferencia, solo de axiomas, o solo de reglas de inferencia.

La teoría de la demostración es aquella parte de la teoría de los sistemas formales (es decir, de los lenguajes formales dotados de mecanismos deductivos) que no conlleva de manera esencial una teoría de modelos (es decir que no requiere de ninguna referencia o interpretaciones de los lenguajes). Entre los conceptos que pertenecen a la teoría de la demostración se encuentran los de demostración en un sistema (o demostración formal), teorema de un sistema (o teorema formal), derivación en un sistema (o derivación formal), y consecuencia sintáctica (o consecuencia desde el punto de vista de la teoría de la demostración). Todos ellos entrañan una referencia esencial a un mecanismo deductivo, y todos ellos pueden definirse sin hablar para nada de interpretaciones.

Ilustración 3

Sea W el sistema definido de la siguiente forma:
Alfabeto: + *
Fórmulas: Toda cadena finita de símbolos del alfabeto de W que comience por ‘+' es una fórmula de W.
Axioma: + * * *
Reglas de inferencia: Toda fórmula de W cuyos dos últimos símbolos sean ‘+' y *, en este orden, es una consecuencia inmediata en W de toda fórmula de W cuyos dos primeros símbolos sean ‘+' y * en este orden. Ninguna otra cosa es una consecuencia inmediata de algo en W.

  1. ¿Es W un sistema formal?
  2. ¿Es ‘+ + *' una consecuencia inmediata en W de ‘+* * * '?
  3. ¿Es ‘+ * ' una consecuencia inmediata en W de ‘+ * '?
  4. ¿Es ‘+ * * +' una consecuencia inmediata en W de ‘+ * * +'?
  5. ¿Es ‘* * + + * ' una consecuencia inmediata en W de ‘+ * + + + +'?
  1. Dar un ejemplo de una consecuencia inmediata en W de:
    a) + + + + b) * + + + c) * + + * d) + * * +

Respuestas:

  1. Si, puesto que corresponde a un lenguaje formal dotado de un mecanismo deductivo.
  2. Si
  3. Si
  4. No. Solo las fórmulas que terminan en ‘... + * ' pueden ser consecuencias inmediatas en W.
  1. No, porque dicha cadena no es una fórmula en W, puesto que no comienza en ‘+'.

a) No existe ninguno'; puesto que los dos primeras signos no corresponden a ‘+ * '.
b) No existe ninguno, puesto que la cadena no es fórmula de W.
c) No existe ninguno, puesto que la cadena no es fórmula de W.
d) Podemos dar innumerables ejemplos, así: + *, + + *, + * + *.

1.5 - Sintáctico, semántico, pragmático

Como lo hemos expresado, todo lenguaje está constituido por símbolos y reglas; a la ciencia que se dedica al estudio de un lenguaje se le denomina semiótica, esta a su vez está constituida por tres ramas denominadas: Sintaxis, Semántica y Pragmática.

La Sintaxis estudia las relaciones de los símbolos entre sí, independientemente de los objetos que ellos puedan designar; es, en consecuencia, la teoría de la construcción del lenguaje.

En el contexto de nuestro trabajo sintáctico está asociado con lenguajes formales o con sistemas formales sin una referencia esencial a su interpretación.

La Semántica estudia las relaciones entre los signos y los objetos que ellos designan.

En el contexto de nuestro trabajo semántico está asociado con la interpretación de los lenguajes formales, es decir, con la teoría de modelos.

La Pragmática estudia las relaciones entre los símbolos y los sujetos que los utilizan.

Ilustración 4

  1. En el lenguaje ordinario, una regla de la sintáctica de la lengua castellana, prohibe que cualquier palabra comience con ‘rr'.
    El enunciado: ‘Algunos autores utilizan a|b y otros para indicar que a divide a b'. Corresponde a la pragmática.
  2. Con relación al problema desarrollado en la ilustración 3, el que una fórmula del sistema W sea una consecuencia inmediata en W de otra fórmula W, ¿es una propiedad sintáctica, semántica o pragmática de esa fórmula?
  3. Que una fórmula denote un número, ¿es una propiedad sintáctica, semántica o pragmática de esa fórmula?
  4. Que una fórmula sea verdadera, ¿es una propiedad sintáctica, semántica o pragmática de esa fórmula?

Respuestas.

2. Sintáctica.

3. Semántica: La expresión ‘que una fórmula denota un número' puede sustituirse mediante la expresión ‘que pueda interpretarse que una fórmula denota un número'.

4. Semántica: La expresión ‘que una fórmula sea verdadera' puede sustituirse mediante la expresión ‘que puede interpretarse que una fórmula exprese algo verdadero'.

1.6 - Metateoría. La Metateoría de la lógica

La metateoría es la teoría que tiene como objeto de estudio los lenguajes, los sistemas formales y sus interpretaciones. Entre los problemas principales que examina, se encuentran problemas de la consistencia, completud, decidibilidad e independencia de conjuntos de fórmulas. Tanto la teoría de modelos como la teoría de la demostración pertenecen a la metateoría.

La metateoría de la lógica es la teoría de aquellos lenguajes y sistemas formales que interesan al lógico. Normalmente este se interesa por un lenguaje formal porque éste tiene fórmulas que pueden interpretarse como si expresaran verdades lógicas; y normalmente se interesa por un sistema formal porque sus teoremas pueden interpretarse como si expresaran verdades lógicas o porque sus reglas de transformación pueden interpretarse como reglas de inferencia lógicamente válidas.

1.7 - Uso y mención.

Lenguaje - Objeto y metalenguaje
Demostraciones en un sistema formal y
demostraciones acerca de un sistema formal

En la lógica, las palabras ‘uso' y ‘mención' (tanto los nombres como los verbos) se utilizan para hacer una distinción fundamental que podemos ilustrar con el siguiente ejemplo:

  1. ‘Medellín' es una palabra aguda.
  2. Medellín es una ciudad.

En 1, se dice que la palabra ‘Medellín' ha sido mencionada ; en 2, se dice que la palabra ‘Medellín' ha sido usada (y no mencionada). Mencionamos un objeto mediante un enunciado acerca de él, en dicho enunciado usamos un nombre del objeto.

Existen diversas formas para indicar que estamos mencionando una expresión; por ejemplo, encerrándola entre comillas (como en el ejemplo dado), o subrayándola.

A los lenguajes formales usualmente se les llama lenguaje - objeto . El lenguaje utilizado para describir un lenguaje - objeto se le designa como metalenguaje de este último.

Una demostración en un sistema formal que tenga axiomas, es una cadena de fórmulas de un lenguaje formal que satisface ciertos requisitos puramente sintácticos y que no posee ningún significado.

Una demostración acerca de un sistema formal es un fragmento de discurso dotado de significado, expresado en el metalenguaje, que justifica un enunciado verdadero acerca del sistema.

De forma similar, un teorema de un sistema formal es una fórmula de un lenguaje formal que satisface ciertos requisitos puramente sintácticos y que no tiene ningún significado, mientras que un teorema acerca de un sistema formal (también llamado metateorema) es un enunciado verdadero acerca del sistema, expresado en el metalenguaje.

1.8 - Ejercicios propuestos 1.7

1. Carlos: Estoy convencido, de la existencia del éter como fundamento de las teorías de la transmisión eléctrica y calórica.

Jorge: No puedo admitir tu afirmación a menos que me expliques qué entiendes por la palabra ‘éter'.

a) En el diálogo anterior, ¿Carlos está usando o mencionando la palabra ‘éter'?

b) ¿Jorge, está usando o mencionando la palabra ‘éter'?

2. En cada una de las siguientes frases, decir si el enunciado ‘Levántate ya' está usado o mencionado.

a) ‘Levántate ya' se utiliza para hacer una petición o para emitir un orden.

b) Levántate ya.

c) No se lo que quieres decir mediante ‘Levántate ya'.

3. Decir, en cada uno de los siguientes casos, si el enunciado ‘La paz es un compromiso de todos' está usado o mencionado:

a) La paz es un compromiso de todos, en todas las circunstancias.

b) Las palabras La paz es un compromiso de todos expresan una proposición verdadera.

c) El enunciado ‘La paz es un compromiso de todos' se usa específicamente para motivar el compromiso social frente a la paz.

4. Con relación a la ilustración 3, la proposición:
No toda cadena formada por varios ‘+' y * es una fórmula del sistema formal W.
¿Es un teorema de W, un teorema acerca de W, o un metateorema?

5. Puesto que, para cualquier sistema formal S, todo lo que es un Axioma de S, o una consecuencia inmediata en S de un axioma de S, es un teorema de S, determinar si cada una de las siguientes cadenas es, o no, un teorema de W (ilustración 3).

a)  + * + *
b) * * + *
c) + * * *
d)  ‘+ * * * ' es un teorema de W.

6. ‘Sean A y B fórmulas cualesquiera de un lenguaje formal T'.
Explicar qué función desempeñan las letras ‘A' y ‘B' en este enunciado.

7. Definimos un sistema formal z así:

Alfabeto: s t

Fórmulas: toda cadena finita de símbolos del alfabeto de z es una fbfs, ninguna otra cosa es una fbfs en z.

Reglas de inferencia:

R.I.1.: toda palabra puede duplicarse.

R.I.2.: Elimine tt de la palabra, siempre y cuando no se elimine la cadena totalmente.

R.I.3.: La cadena ‘sss' puede sustituirse por ‘t' en cualquier palabra.

R.I.4.: Añada ‘t' a la derecha de la palabra actual si la última letra es ‘s'.

R.I.5.: Estas son las únicas reglas de inferencia en z.

a) Dada la palabra sstts , cuáles de las siguientes palabras se derivan de ella, indique explícitamente las reglas utilizadas.

i)t   ii)tt iii) iv)tttt v)s

b) Demuestre que tst se deriva de s.

c) Demuestre que ttst se deriva de s.