6.4 Señales de tiempo discreto exponencial compleja y senoidal.

Al igual que en tiempo continuo, una señal importante en tiempo discreto es la señal o secuencia exponencial compleja definida por:    donde C y a  son en general números complejos.

De forma alterna ésta se puede expresar como:   donde   Si C y a  son reales se tiene:
la señal crece en forma exponencial.
se tiene una exponencial decreciente.

Si a es positiva todos los valores de   son del mismo signo,pero si a es negativa, entonces se alterna el signo de .

Si a = 1, es constante, mientras que si a = -1 el valor de se alterna entre C y -C.

Otra exponencial compleja importante se obtiene cuando y forzando que b  sea imaginaria pura.

Sea,   como en el caso continuo, esta señal está muy relacionada con:

Si se escribe ; se obtiene:

Así para , las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial compleja son senoidales.

Para corresponden a secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente; para son secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial creciente.

Veamos las propiedades de periodicidad de

Consideremos la exponencial compleja con frecuencia:

O sea, que en tiempo discreto la señal con frecuencia es idéntica a las señales con frecuencia: ; , etc.

Por tanto, al considerar las exponenciales de tiempo discreto se necesita tomar en cuenta solamente un intervalo de longitud 2p  dentro del cual se escoge

Por lo general:

Ahora, para que sea periódica con período N > 0 se debe cumplir que:

Es decir que o sea que debe ser múltiplo de

Por tanto,

Por lo anterior, no es periódica para valores arbitrarios de ; sólo es periódica si
es un número racional.

Como en el caso continuo se definirá la frecuencia fundamental como o sea que

Período fundamental es .

Veamos en una tabla las siguientes diferencias entre  y


m y N  no tienen factores en común.

Ejemplo 3.

Represente gráficamente las siguientes funciones de variable discreta.

1.      x(n) = 2n( u(n) - u(n - 5)).

2.      y(n) = 2-n u(n).

3.      z(n) = (-1)n (0.8)n u(n).

4.      w(n) = z(n + 2).






Ejemplo 4.

Considere la siguiente función de variable discreta:

Represente gráficamente: magnitud, fase, parte real y parte imaginaria.


               







Observe que tanto la parte real como la parte imaginaria son sinusoidales amortiguadas similares a las que se manejan en variable continua.

Para representar la parte imaginaria dibujamos la función y la multiplicamos por la magnitud.





Ejercicios 6.4

1. Verifique los siguientes resultados:

2. Genere y grafique los términos de las siguientes secuencias.

3. Usando la función impulso unitario, represente las secuencias siguientes:


4. Una secuencia x[n] está representada por x[n]=u[n+1]-u[n-4]+0.5 d [n-4].
a) Representarla gráficamente.
b) Representar gráficamente x[-n], x[n2], x[n - 1] d [n - 3], 0.5(-1)nx[n].


5. Considere la secuencia siguiente:

a) Representarla gráficamente.
b) Muestre que h[n]puede expresarse en la forma:

c). Muestre que h[n] puede expresarse en la forma h[n] =

d) Represente gráficamente la función S[n] = h[n + 2] +h[-1 - n].


6. Dibuje la parte par y la parte impar de las siguiente secuencias:

a) x[n] = d[n + 2] + 2d[n + 1] + 3d[n] + d[n - 7].

b) y[n] = -d[n + 4] + 2d[n + 3] + 2d[n + 2] + 2d[n + 1] + d[n] + 2d[n - 1] - d[n - 3].


7. Muestre que si x[n] es una secuencia impar entonces:

8.Muestre que x[n] es impar y y[n] es impar, entonces que x[n]y[n] es impar,

9. Muestre que:

10. Si la parte par de una secuencia está dada por xp[n] = d[n + 3] + 2d[n + 2] + 4d[n + 1] + 16d[n] + 4d[n - 1] + 2d[n - 2] + d[n - 3] y si x[n] = 0 para n <0, determinar x[n]y represéntelo gráficamente.

11. Dada la secuencia x[n] = d[n + 4] + d[n + 3] + 2d[n + 2] + d[n + 1] +  2d[n] +  d[n - 1] + 2d[n - 2] + d[n - 3] + d[n - 4]

a) Represente y[n] = x[2n]