3.4 Relaciones.

3.4.1 Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B.
Si R Ì A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A.
0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 Ì A x B y A x B Ì A x B.


Si (x,y) Î R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".


Ejemplo 1:

Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}.

R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B.

R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B.

R3 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}.

R4 = {(x, y) / x Î A Ù y Î B Ù x + y £ 7}

     = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}.

R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A.

R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A.

R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A.

R8 = {(x, y) / x Î A , y Î B, x - y = 0} = 0.

3.4.2 Dominio de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:


D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}


En consecuencia,

x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).

x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).





3.4.3 Rango de una Relación.

Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}

En consecuencia,

y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).

y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).



Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:

D(R1) = {3, 1, 5} g (R1) = {2, 8, 4}

D(R2) = {3} g (R2) = {8}

D(R3) = {3, 5} g (R3) = {2, 4}

D(R4) = {3, 1, 5} g (R4) = {2, 4, 6}

D(R5) = {3, 1} g (R5) = {5, 3}

D(R6) = {2, 6} g (R6) = {3, 1}.


Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x Î RÙy Î RÙy < x}.

El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.




Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación:

"x es menor que y"


Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.

              D(R) = {1, 2}, g (R) = { 2, 3}.




3.4.4 Teorema. Sea R una relación, A y B dos conjuntos. R es una relación de A en B sí y sólo sí D(R) Ì A y g (R) Ì B.

3.4.5 Relación inversa. Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia,



3.4.6 Relación Idéntica.

Definición. Sea A un conjunto. La relación dada por: {(x, y) / x Î A Ù y = x} se denomina relación idéntica en A y se designa IA:

En consecuencia:

(x, y) Î IA Û x Î A Ù y = x.

(x, y) Ï IA Û x Ï A Ú y ¹ x.


Ejemplo 7.

IR es la relación idéntica en los reales, es decir el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que tienen ordenada y abscisa iguales. Su gráfica es la recta bisectriz del primero al tercer cuadrante.




3.4.7 Relación reflexiva en un conjunto.

3.4.7.1 Definición. R es una relación reflexiva en un conjunto A sí y sólo sí R es una relación en A y todo elemento de A está relacionado con sigo mismo. Es decir R es reflexiva en A si y sólo sí,

R Ì A x A Ù (" x Î A) ((x, x) Î R).

R no es reflexiva en A si y sólo si,

R Ë A x B Ú ($ x Î A) ((x, x) Ï R).


Ejemplo 8.

Sea A = {1, 3, 5}.

R1 = {(1, 3), (3, 5), (1, 1), (5, 1), (5, 5), (3, 1), (3, 3)} es reflexiva en A.

R2 = {(1, 1), (5, 3), (5, 5), (3, 1)} no es reflexiva en A.

Ejemplo 9.

IA es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.

Ejemplo 10.

A2 es reflexiva en A cualquiera sea A ¹ 0.

3.4.7.2 Teorema. R es reflexiva en A sí y sólo sí IA Ì R.

3.4.8 Relación simétrica en un conjunto.

3.4.8.1 Definición. R es una relación simétrica en A sí y sólo sí R es relación en A y cualesquiera sean los elementos x,y de A se verifica que si x R y entonces y R x. En consecuencia:



Ejemplo 11.

Las relaciones IA y A2 son simétricas en A cualquiera sea A.

Ejemplo 12

Sea A = {3, 4, 2} entonces:

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} es simétrica en A.

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)} no es simétrica en A.

Ejemplo 13.

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î NÙx | y} donde la expresión "x| y" significa x divide a y no es simétrica en N puesto que si x| y no necesariamente y| x.

3.4.8.2 Teorema. R es simétrica en A sí y sólo sí R = R-1.

3.4.9 Relación antisimétrica en un conjunto.

3.4.9.1 Definición. R es una relación antisimétrica en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualesquiera que sean x,y de A se verifica que:

Sí x R y Ù y R x entonces x = y.

En consecuencia:

R Ì A x A Ù (" x)(" y) ( x R y Ù y R x Þ x = y)
R Ë A x A Ú ($ x)($ y) ( x R y Ù y R x Ù x ¹ y)

Ejemplo 14.

I A es antisimétrica en A.

Ejemplo 15.

Sea A = {2, 4, 6} entonces:

R = {(2, 2), (4, 4)} es antisimétrica en A.

S = {(2, 4)} es antisimétrica en A.

T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)} no es antisimétrica en A

Ejemplo 16.

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x|y} es antisimétrica en N, puesto que x|y Ù y|x implica x = y.

3.4.9.2 Teorema. R es antisimétrica en A Û R · R-1 Ì IA.

3.4.10 Relación transitiva. R es una relación transitiva en A sí y sólo sí R es una relación en A y cualquiera sean x, y, z pertenecientes a A se verifica que:

Sí x R y Ù y R z, entonces x R z.

En consecuencia:

R Ì A x A Ù (" x)(" y)(" z) ( x R y Ù y R z Þ x R z)
R Ë A x A Ú ($ x)( $ y)($ z) ( x R y Ù y R z Ù x z).

Ejemplo 17.

I A es transitiva en A.

Ejemplo 18.

Sea = {2, 4, 6, 3} entonces:

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} es transitiva en A.

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)} no es transitiva en A.

Ejemplo 19.

La relación T = {(x, y) / x Î N, y Î N Ù x |y} es transitiva en N.