3.5 Relaciones de equivalencia.

3.5.1 Introducción. Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. Considere una relación R definida en H de la siguiente manera:
Si x e y pertenecen a H, se dice que "x está en relación con y sí y sólo sí x es compatriota de y".
Con la anterior definición queda establecida la relación:


R = {(x, y) / x, y Î H Ù "x es compatriota de y"}.


Esta relación es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. Es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". Es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".
Sea un elemento fijo de H. se denota por el conjunto formado por los compatriotas de a, es decir:

= {x Î H / x R a}.


a está formado por la población del país del cual es nativo a. Por ejemplo, si a es colombiano,

= {x Î H / x es colombiano}.

Al individuo se le llama un "representante del conjunto a". Cualquier colombiano puede ser un representante. Eligiendo los diferentes representantes se obtiene la división de la humanidad en países.

Si se toma otro elemento fijo b Î H y se forma el conjunto :

= {x Î H / x R b},
pueden ocurrir dos casos:

- Que a R b. En tal caso = .

- Que a b, y entonces y son conjuntos disjuntos, es decir, países diferentes.


Siguiendo este proceso se obtienen tantos conjuntos como países existen. Se puede verificar que cada conjunto es no vacío y que no existe intersección entre cada dos de ellos, además que la unión de todos ellos es el conjunto H.

Una relación que produce sobre el conjunto en el cual se define una clasificación con las características anteriores, se llama relación de equivalencia.

3.5.2 Definición. Sea A un conjunto no vacío y R una relación en A. R es una relación de equivalencia en A, si R es reflexiva, simétrica y transitiva en A.

Ejemplo 1.
IA es una relación de equivalencia en A (A ¹ 0).

Ejemplo 2.

La relación de paralelismo definida entre la rectas del plano euclideo, es una relación de equivalencia, pero no lo es la relación de perpendicularidad.
 
Ejemplo 3.
Sean a y b enteros y n un número fijo positivo. En Z (conjunto de los enteros) se define una relación de la siguiente manera:

Se dice que a es congruente con b módulo n y se escribe, a º b (mod n) sí y sólo sí nï (a - b), es decir,

a - b = kn con k Î Z .



En tal caso, el par (a,b) pertenece a la relación. Esta relación se llama congruencia módulo n.

Rn = {(x, y) / x º y mod n, x, y Î Z }.



Rn es reflexiva, puesto que x º x mod n. x - x = 0 = 0n Ù 0 Î Z .

Rn es simétrica. si x º y mod n, x - y = kn con k Î Z . Luego, y - x = -kn, -k Î Z . Es decir, y º x mod n.

Rn es transitiva en Z . Sean x º y mod n Ù y º z mod n, entonces:

x - y = k1n Ù y - z = k2n, k1 y k2 Î Z .

x - y + y - z = (k1 + k2)n.

x - z = (k1 + k2)n, (k1 + k2) Î Z .

sea k = k1 + k2, luego x - z = kn y en consecuencia

x º z mod n.



3.5.3 Clases de equivalencia.

Definición. Sea A un conjunto no vacío, R una relación de equivalencia en A y x un elemento fijo en A. Al conjunto de todos los elementos de A relacionados con x, se le denomina clase de equivalencia de x con respecto a R y se le denota: x.

En consecuencia,

= {y Î A / y R x}.

y Î Û y Î A Ù y R x.

y Ï Û y Ï A Ú yx.
 

El elemento fijo x se llama representante de clase.
 
 

3.5.4 Teorema. Sea R una relación de equivalencia en un conjunto no vacío A. Entonces,


Demostración:

x Î


Si x R y entonces = . En efecto, sea a Î ,a R x, y como x R y, a R y,luego  aÎ . Por tanto, Ì . (1).
 
 

Sea a Î y, a R y, como x R y,y R x,luego a R x, y por tanto a Î . En consecuencia Ì . (2).


De (1) y (2), = .

Si x y, entonces = 0. En efecto, si ¹ 0, existe un a tal que: a Î Ù a Î , luego a R x Ù a R y.

Por simetría, x R a Ù a R y, entonces por transitividad x R y. Absurdo! Luego.

= 0.


Definición. Sea R es una relación de equivalencia en A. El conjunto formado por todas las clases de equivalencia respecto a R, se llama conjunto cociente de A por R, y se denota Aï R. En consecuencia,

Aï R = { / x Î A}.


 

3.5.5 Partición de un conjunto A. Una partición de un conjunto A no vacío, es una colección de subconjuntos no vacíos A1, A2, ..., An de A tal que:







La figura anterior es una representación gráfica de la partición P = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} de un conjunto A.
 
 
Ejemplo 4.
Sea, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = {5, 6, 7}, A3 = {4, 5, 7, 9}, A4 = {8, 9, 10}, A5 = {1,2,3,6,8,10}. Los conjuntos P1 = {A1, A2, A4} y P2 = {A3, A5} son particiones de A. El conjunto {A1, A3, A4} no es una parición de A puesto que 4 Î A1 A3.
 
 
Nota: El teorema anterior puede interpretarse, diciendo que una relación de equivalencia en A genera una partición del conjunto A. La partición será el conjunto cociente de A.
 
 
Ejemplo 5.
En la relación de congruencia módulo n se puede formar las diferentes clases de equivalencia y el conjunto cociente, así:

R = {(a, b) / a º b mod n, a, b Î Z }.

a º b mod n Û a - b = kn con k Î Z .

a = kn + b. Luego los elementos de a son los que dejan residuo b al ser divididos por n. O sea que habrá tantas equivalencias como posibles residuos. Por esta razón a estas clases se les denomina clases residuales módulo n y se forman de la siguiente manera:

= {..., - 2n, - n, 0, n, 2n,...}

= {..., 1 - 2n, 1 - n, 1, 1 + n, 1 + 2n,...}

= {..., 2 - 2n, 2 - n, 2, 2 + n, 2 + 2n,...}

.

.

.

= {..., - 1 - 2n, - 1 - n, - 1, - 1 + n, - 1 + 2n,...}



Es posible verificar que no hay otras clases distintas de esta. Por ejemplo:


= {..., - 2n, - n, 0, n, 2n,...} = 0





Análogamente, = , = , etc.
 
 

3.5.6 Teorema. Toda partición de un conjunto no vacío A, define una relación de equivalencia en A.
 
 

Demostración:

Sea P = { A1, A2, ..., An } una partición de A. Se define en A la siguiente relación:

R = {(x, y) / x Î Ai, y Î Ai Ù Ai Î P}.

Veamos que R es una relación de equivalencia.

Ejemplo 6.

Sean A = {1,2,3,4} y Aï R = {{1,2,3},{4}} una partición de A. Determinar la relación de equivalencia correspondiente en A.


Solución: Las clases de equivalencia de A serán los subconjuntos de A que conforman la partición, así:


1 = {1,2,3} 4 = {4}.


A partir de la definición de 1 y el hecho de que R es una relación de equivalencia, se llega a que: (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3) pertenecen a R.

De igual manera (4,4) pertenece a R, entonces:

R = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)}
 
 
 
 

Ejercicios 3.5
 
 

1) ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?

2) Defina la relación "@ " en Z como m @ n sí y sólo sí m2 = n2.

3) Para m, n pertenecientes a los naturales defina m ~ n si m2 - n2 es múltiplo de 3.

4) La definición m º n (mod p) tiene sentido inclusive si p = 0 o p = 1.

5) Considere la relación en Z definida como m R n sí y sólo sí m3 - n3 º 0 (mod 5)

¿ Es una relación de equivalencia?.
 
 

6) Dado A = {a, b, c, d, e, f}, escriba cinco relaciones de equivalencia en A diferentes.
 
 

7) Sea A = {a, b, c, d} y Aï R ={{a, b}, {c}, {d}}. Escriba la relación de equivalencia correspondiente en A. Escriba todas las clases de equivalencia.
 
 

8) Sea S un conjunto. ¿ Es la igualdad "=" una relación de equivalencia en S?.
 
 

9) Escriba las clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo 4. ¿Cuál es el conjunto cociente?.
 
 

10) Considere el conjunto N x N . Definamos una relación N x N de la forma siguiente:

(a, b) ~ (c, d) sí y sólo sí a + b = b + c. Pruebe que R es una relación de equivalencia.

11) Para cada una de las siguientes relaciones, decir cuáles son de equivalencia. Todas las relaciones son sobre el conjunto de los seres humanos.

a) x R y representa que x es hijo de y.

b) x R y representa que x es un descendiente de y.

c) x R y representa que x e y tienen los mismos padres.

d) x R y representa que x es de la misma estatura o de menor estatura que y.
 
 

12) Sea R una relación sobre el conjunto de los enteros positivos, tal que R = {(a, b)/a - b es entero positivo impar}. ¿Será esta relación de equivalencia?.
 
 

13) Sea R una relación simétrica y transitiva sobre un conjunto A. Demuestre que si para todo a Î A existe b Î A tal que (a, b) Î R, entonces R es una relación de equivalencia.
 
 

14) Sea R una relación reflexiva y transitiva en A. Sea T una relación en A tal que (a,b) Î T sí y sólo sí tanto (a, b) como (b, a) está en R. Demuestre que T es una relación de equivalencia.
 
 

15) Una relación R es una función si para todo x existe sólo una y tal que x R y. ¿Puede una función ser una relación de equivalencia?.