8.4 Principio de Inducción Matemática
8.4.1 Conjuntos Inductivos.
Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y así sucesivamente.
En virtud de que no se puede depender del significado
un poco oscuro de "y así sucesivamente" y de que se debe tener una
base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da
una definición del conjunto de los enteros positivos, basada en
el concepto de conjunto inductivo.
8.4.2 Definición. Un conjunto S
de números es un conjunto inductivo sí y sólo sí
S
tiene las siguientes propiedades:
Ejemplo 1.
El conjunto de los enteros positivos es un conjunto
inductivo.
Ejemplo 2.
El conjunto de los números Reales es un
conjunto inductivo.
Ejemplo 3.
El conjunto
S1 = {1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porque no obstante que 1 
S1; (1+1)
S1.
El conjunto Z+
es el conjunto de números con la propiedad de que si k es
cualquier conjunto inductivo de números, entonces Z+
k.
Se dice a veces, que el conjunto de los enteros positivos, es el "más
pequeño" conjunto inductivo de números.
8.4.3 Teorema fundamental de Inducción Matemática.
Sea Sn
una función proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+.
Si Sn satisface las siguientes
dos condiciones:
Entonces Sn
es cierta para todo n Z+.
Demostración
Sea k el conjunto de todos los enteros positivos
para el cual Sn es cierta.
Es decir:
De i. se observa que 1 k.
De ii. se observa que k k 
(k + 1)k.
Por tanto k es un conjunto inductivo y por la definición de k se sabe que k Z+.
De otra parte
Z+ k. Por consiguiente Z+= k,
es decir Sn es
cierta para todo n Z+.
Ejemplo 4.
Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares positivos es n2.
Sea Sk= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k -1) = kn (hipótesis de inducción)
Entonces hay que demostrar que S1
es cierta y que Sk Sk+1 es cierta.
s1= 1 = 12
sk+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)
Entonces, sk+1 = sk + (2k + 1) = k2+ 2k + 1 = (k + 1)2
Con lo anterior queda demostrado que la suma de
los n impares positivos es n2.
Ejercicios 8.4
1. Demuestre que:
para todo n
1.
2. Demuestre que:
2 + 6 + 10 + ... + (4n - 2) = 2n2
para todo n1.
3. Demuestre que:
para todo n1
4. Demuestre que:
para todo n1.
5. Demuestre que:
para todo n1.
