5.2 Multiplicación y división.


Veamos ahora como se suma y se multiplica en cualquier sistema numérico. El proceso es exactamente igual a lo que se hace en notación decimal, pero teniendo en cuenta que el "acarreo" ocurre cada vez que el resultado de sumar dos dígitos de una columna excede o es igual a la base a la cual están referidos los números.

Como ejemplo, vamos a sumar los números 12410 y 41710 en el sistema base 3.

Primero, se reescriben los números a sumar en el sistema base 3 así:

Luego escribimos los números a sumar como usualmente se ha hecho.

El "acarreo", cuando ocurre aparece entre paréntesis en la parte superior del primer sumando.

Ahora:

Ejemplo 4.

Multiplicar 1310 y 4310 pero en el sistema base 5.

Primero reescribimos los números a multiplicar en el sistema base 5 así:

Luego escribimos los números a multiplicar como normalmente se ha hecho.

Ahora,

Veamos por qué

, escribo 4 y "acarreo" 1.

y 1 que "traigo" es , escribo 0 y "acarreo" 2.

y 2 que "traigo" es , es decir .

La tabla del producto en base 5 salvo "acarreo" es:

Ejemplo 5.

Calcular

O sea que

Existe un algoritmo muy efectivo para pasar un número en base 10 a otra base y se describe así:

    a). último dígito es el residuo de dividir el número por la base del nuevo sistema.

    b). El segundo dígito se obtiene de la forma siguiente: se toma el cociente de la división anterior y se divide por la base del nuevo sistema, el residuo será el segundo dígito.

    c). Repetimos el proceso hasta hallar la representación completa del número.

Ejemplo 6.

Usando el algoritmo descrito, escribir 45110 en base 6.

451 = 75 ´ 6 + 1

75 = 12 ´ 6 + 3

12 = 2 ´ 6 + 0

2 = 0 ´ 6 + 2

O sea que 45110 = 20316 .

Ejemplo 7.

Escribir 724 en base 7.

724 = 103 ´ 7 + 3

103 = 14 ´ 7 + 5

14 = 2 ´ 7 + 0

2 = 0 ´ 7 + 2

O sea que 72410 = 20537 .

Ejemplo 8.

Un profesor observa escrito en el tablero 3 ´ 4 = 10. ¿En que base numérica es correcto?

Sea n la base buscada. Se debe cumplir:

10n = 1 x n1 + 0 x n0 = n

En la base n se cumple que 3 < n y 4 < n.

Entonces 3 ´ 4 = n o sea que n = 12. O sea en base 12; se observa que 1012 = 12.

El siguiente ejemplo ilustra situaciones interesantes donde intervienen bases numéricas.

Ejemplo 9

¿Existen sistemas numéricos donde las siguientes igualdades son simultáneamente verdaderas?

a. 3 + 4 = 10    y    3 ´ 4 = 15

b. 2 + 3 = 5    y    2 ´ 3 = 11



Desarrollo parte (a).

Sea n la base pedida. Obligatoriamente se debe cumplir que 3, 4, 5 son menores que n.

10n = 1 x n1 + 0 x n0 = n

15n = 1 x n1 + 5 x n0 = n + 5

O sea:

3 + 4 = n

3 ´ 4 = n + 5

Por tanto n = 7 satisface simultáneamente las dos ecuaciones.

Desarrollo parte (b).

Sea n la base pedida. Obligatoriamente 2, 3, 5 son menores que n.

5n = 5 x n0 = 5

11n = 1 x n1 + 1 x n0 = n + 1

O sea que:

2 + 3 = 5

2´ 3 = n + 1

De la segunda igualdad n = 5 pero entra en contradicción con la primera igualdad porque 5 no es un dígito en el sistema base 5. Por tanto no existe solución.

Ejemplo 10.

En un tablero aparece la siguiente suma parcialmente borrada:

Encuentre el sistema numérico en el que está hecha la suma y los dígitos borrados.

La base debe ser mayor que 6 debido a que los sumandos contienen los dígitos 1, 2, 3, 4, 6.

Como la suma de la primera columna es 3, la única posibilidad es que el dígito borrado en la primera columna sea 1.

Como la suma de la segunda columna es 2, necesariamente está "acarreando" 1 a la columna siguiente; pero 5 + 4 = 9 y 9 = 7 + 2, por tanto la base pedida es 7 y así

.

Como se "acarrea" 1 a la tercera columna y la base es 7 se tiene que: x + 1 + 6 = 4, y como se trabaja en base 7, necesariamente x = 4, con lo que 4 + 1 + 6 = 11 y 1110 = 147 o sea que se escribe 4 y "acarreo" 1 a la cuarta columna.

Como se está "acarreando" un 1 de la tercera columna y la base es 7, se tiene en la cuarta columna, 3 + 1 + y = 2. Necesariamente y = 5, con lo que 3 + 1 + 5 = 9 y 910 = 127, o sea que se escribe 2 y se "acarrea" un 1 a la quinta columna.

Ejemplo 11.

Un profesor dice que hay 100 estudiantes en la clase de los cuales 24 son niños y 32 son niñas. ¿Qué base numérica está utilizando el profesor?

Sea n la base pedida.

Se debe cumplir que:

.
O sea n2 = 5n + 6;     n2
- 5n - 6 = 0

Por tanto n = 6 y n = - 1.

La base que está utilizando es 6.

El número de estudiantes es (en base 10):

     estudiantes.

Número de niños:    

Número de niñas:    

Ejercicios 5.2

  1. Convertir 10111012 a base 10, base 8 y base 16.
  2. Convertir 5232510 a base 2, dase 3y base 16.
  3. Dados 1100111012 y 101101112 evalúe su suma y su multiplicación.
  4. Convertir 25378 a base binaria.
  5. Dados 57610 y 23810, convertirlos a base binaria y multiplicarlos. Comprobar el resultado realizando la multiplicación en base 10.
  6. Dados 11011012 y 10001112, efectuar su resta. Comprobar el resultado realizando la resta en base 10.