Dentro de la teoría se consideran como
primitivos o términos
no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los
conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras
minúsculas.
Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos
bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros
del conjunto.
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe:
que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe:
Un conjunto se puede definir haciendo la presentación efectiva de cada uno de sus elementos, así el conjunto A cuyos elementos son 2, 3, 5, se escribe:
Esto se conoce como expresión por
extensión
del conjunto.
Otra forma de definir un conjunto es enunciando una propiedad que
permita seleccionar de un conjunto ya formado, aquellos que verifiquen
dicha propiedad. Por ejemplo, dentro del conjunto de los números
podemos seleccionar el conjunto B de los números pares, en este
caso se emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento
cualquiera y se escribe:
lo que se lee: "B es el conjunto de los números x tales que x es par". Esta forma de definir un conjunto de llama por comprensión.
3.1.1.1 Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es
igual al conjunto
B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A
es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos
escribir:
3.1.1.2 Subconjuntos. Si todo elemento de un
conjunto A es
también
elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de
B. Esta relación se denomina relación de inclusión
y se denota como: A Ì B.
Simbólicamente esto se puede expresar así:
Esta relación también se puede leer: "A
está
contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está
contenido en B, escribimos: A Ë B.
Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera
la definición de igualdad de dos conjuntos, así:
Puesto que todo conjunto A es subconjuto de si mismo,
se dirá
que A es un subconjunto propio de B; si A es subconjuto de B y A no es
igual a B. Más brevemente, A es subconjuto propio de B si
A Ì B y A ¹ B. Esta situación puede
representarse mediante un diagrama así:
3.1.1.3 Conjunto Universal. Es el conjunto
de todos los elementos en discusión. También se le llama
dominio de discusión o referencial.
El conjunto universal se designa con el símbolo 1.
Ejemplos
1. En geometría plana el conjunto universal
es el de todos los puntos del plano.
2. En los estudios de población humana el
conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del
mundo.
3.1.1.4 Conjunto Vacío. Es el conjunto
que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un conjunto
vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria,
por ejemplo:
Sea A = {x / x2 = 4 Ù
x es impar}.
3.1.1.5 Conjunto de Partes de un Conjunto.
El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A, se denomina conjunto
de partes de A y se denota P
(A).
3.1.2 Operaciones Fundamentales con Conjuntos.
3.1.2.1 Unión. La unión de los
conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a
A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A
+
B y se llama unión de A y B.
En la gráfica la región rayada
corresponde
a la unión de A y B. Se presentan los conjuntos dentro de un rectángulo
que representa el conjunto referencial del cual se seleccionan los conjuntos
A y B.
3.1.2.2 Intersección. La intersección
de dos conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes
a A y a B, esto es, aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen
a B. Se denota la intersección de A y B por A
·
B y se lee "A intersección B".
x Î A· B Û x Î A Ù x Î B.
La región rayada corresponde a A·
B. Cuando A y B no tienen elementos comunes, se dice que son disjuntos.
3.1.2.3 Complemento. El complemento de un
conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A,
es decir, el conjunto de todos los elementos que están en el Universal
y no están en A. El complemento de A se denota por A'.
3.1.3 Leyes del Álgebra de Conjuntos.
Si 1 designa al conjunto universal y 0 al conjunto
vacío, las siguientes identidades son válidas en el álgebra
de conjuntos para conjuntos arbitrarios X, Y, Z.
Es importante destacar la dualidad dada en estas
leyes, es decir, si en cualquiera de las identidades, cada unión
se reemplaza por una intersección, cada intersección por
una unión, cada 0 por 1 y cada 1 por 0, la expresión resultante
es también una identidad.
1) Sean A, B, C, los siguientes conjuntos:
A = { {1,3}, {2,4,6}, {8,9}}
B = { 1,2,3,4,6,8,9}
C = { {1}, {3}, {2}, {4}, {6}, {8}, {9}}
{1,3} ÎA {1,3} Ì B {1} Î A {1} Ì A
{1,3} Ì
A
{1,3} Î C
{1} Î B
{1} Ì B
{1,3} Î
B
{1,3} Ì C
{1} Î C
{1} Ì C
{{1}, {2}} Ì
B
{{1}, {2}} Ì
C
{{1,3} } Ì
A.
2)Si A = {x}; B = {{x}}; ¿ Cuáles de las siguientes expresiones son correctas?
x Î A {x} Ì A {x} Î B A Î B {A} Ì B
x Î B {x} Ì B {{x}} Ì A A Ì B {A} = B.
3) Dados los siguientes conjuntos:
F: El conjunto de los números de cuatro cifras, donde dos al menos de dichas cifras son cero.
G: El conjunto de números de cuatro cifras, donde una al menos de dichas cifras es cero.
H: El conjunto de números de cuatro cifras,
dos de las cuales son cero y las otras dos diferentes de cero.
Determine todas las posibles relaciones de
inclusión
que se pueden establecer entre los conjuntos F, G y H.
4) Sea A = {0,1,2,3} y B = {0, {0},3,5}
5) Sea A el conjunto de todos los números
naturales que verifican la ecuación:
(x -
2)(x + 1) = 0.
Sea B = {A, 1}, ¿ Cuáles de las siguientes expresiones
son verdaderas?.
-1 Î
A,
2 Î B,
1 Î A,
{2} Î
B,
{2} Î
A.
6) Sean:
X = {a, b, c, e, u, k, m, n, t,
{a},
{x}, {y}, {c}},
considerado como conjunto referencial,
A = {{x}, {y}, a, b, u, {a}, t}
y B = {c, {a}, {x}, {y}, m, t}.
Determinar A' y B'.
7) Sea A = {0, f }. En el espacio en blanco coloque los signos apropiados entre Î , Ï , Ì , Ë .
0 ____ P(A) {0, f } ____ P(A) {{f },f } ____ P(A)
{0} ____ A {f } ____P(A) {{f },0} ____P(A)
f ____ P(A) {{f }} ____P(A) {{0},{f }} ____P(A)
f ____ A {0, f } ____ A
{f
} ____ A
{{0}, 0} ____P(A).
8) Sean A = {0,{ 1,2}}; B = { 1,2}; C = {1, {f }}.
Determinar P(A),
P(P(B)),
P(C).
9) si A es el conjunto de números de dos
cifras
tales que la primera cifra es mayor que la segunda y B el conjunto de números
de dos cifras tales que la primera cifra es menor que la segunda, expresar
A + B y
A·
B.
10) Suponga que el conjunto universal es el conjunto de los números enteros positivos. Defina S, E y M así:
S: Conjunto de todos los enteros positivos menores o iguales a 6.
E: Conjunto de todos los enteros positivos pares.
M: Conjunto de todos los enteros positivos
múltiplos
de tres.
Escriba expresiones algebraicas simples en términos de S, E y M para los siguientes conjuntos:
11) Dar contraejemplos para los recíprocos de cada uno de los siguientes teoremas:
12) Aplicando leyes fundamentales para el álgebra de conjuntos simplifique las siguientes expresiones.(Cada expresión se reduce a un sólo símbolo).
13) Simplificar las siguientes expresiones, justificando cada paso.
14) Escriba cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos X, Y y Z, sin hacer uso del símbolo "Ì ".
X'·
Y Ì Z
X + Y' Ì
Z.
X·
Y' + X'·
Y Ì Z
+
Y'
X Ì
Y' Ì
Z.
15) Encuentre una proposición equivalente en términos de inclusión para cada una de las siguientes condiciones sobre los conjuntos X, Y , Z y W.
( X' +
Y )( Z + W' )' =
0
( X' + Y )( Z + W' ) = 0.
X +
Y' + Z'
+
W' = 1
X·
Y' + Z'·
W = 0.
