1.2 CALCULO PROPOSICIONAL
 

1.2.1 Simbolización de proposiciones. Cada proposición tiene una forma lógica a la cual se le dá un nombre. Se distinguen dos tipos de proposiciones: simples y compuestas. Una proposición se denomina simple cuando en ella no interviene ninguna conectiva lógica o término de enlace (y, o, no, si...entonces..., si y sólo si). Si se juntan una o varias proposiciones simples con un término de enlace, se forma una proposición compuesta.

Los términos de enlace, "y", "o", "si... entonces...", "si y sólo si"; se usan para ligar dos proposiciones, en cambio el término de enlace "no" se agrega a una sola proposición.


Ejemplo:

Hoy es jueves
Hay clases de matemáticas

Ambas proposiciones son simples. Con estas proposiciones se pueden construir proposiciones compuestas tales como:

Hoy es jueves y hay clases de matemáticas.
Hoy es jueves o hay clases de matemáticas.
Si hoy es jueves entonces hay clases de matemáticas.
Hoy no es jueves.

La forma de las proposiciones compuestas depende del término de enlace utilizado, y no del contenido de la proposición o proposiciones simples. Es decir, si en una proposición compuesta se sustituyen las proposiciones simples por otras proposiciones simples cualesquiera, la forma de la proposición compuesta se conserva.


Ejemplo:

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.
 

  y  

Esta sería la forma de la proposición. En los cuadros pueden colocarse las proposiciones dadas u otras proposiciones. Para representar las proposiciones se utilizan letra latinas mayúsculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea:


P: Hoy es jueves.
Q: Hay clase de matemáticas.

Luego la proposición:
 

Hoy es jueves y hay clase de matemáticas.

se simboliza así:

P y Q

En el lenguaje corriente se utiliza también la palabra "pero" o una "," en vez del término de enlace "y".

Ejemplo:

Fuí a la feria, pero no hice compra alguna.
Inés está enferma, el martes iré a visitarla.

En el siguiente ejemplo se usa el término de enlace "o".

Es tarde o está muy oscuro.

Otro giro de "o" es:

O es tarde o está muy oscuro.

En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es:
 

  o  
 

Cuando se usa el término de enlace: si,...entonces.... se obtiene la siguiente forma:

 Si   entonces 
 

Si  R   entonces   S

Ejemplo:

Si madrugo entonces llego temprano.

En este ejemplo puede suprimirse la palabra "entonces" y reemplazarse por una "," así:

Si madrugo, llego temprano.

Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposición compuesta.

Ejemplo:

El día no está caluroso

Puede presentarse como:

No ocurre que el día esté caluroso.

y su forma es:

No 

No                P

También se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:

Para la "y" se utiliza el símbolo Ù.
Para la "o" se utiliza el símbolo Ú.
Para el "no" se utiliza el símbolo Ø.
Para el "si,…entonces…" se utiliza el símbolo ®.
Para el "si y sólo si" se utiliza el símbolo «.


Cuando una proposición compuesta utiliza el término de enlace "y" es una conjunción. Si el enlace se hace mediante la conectiva "o" es una disyunción. Si se usa el término "no" es una negación. Cuando la conectiva es "si ...entonces... " es una proposición condicional, y si utiliza "si y sólo si" se tiene un bicondicional.

En proposiciones que tienen más de un término de enlace es preciso indicar la manera de agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En el lenguaje corriente, las agrupaciones se presentan de acuerdo a la colocación de ciertas palabras o mediante la puntuación. En lógica la agrupación se indica por medio de paréntesis.


Ejemplo:

O los soldados encontraron cerrado el paso, o si temieron un ataque enemigo, se refugiaron en las montañas. Este texto se simboliza de la siguiente forma:

P: Los soldados encontraron cerrado el paso.
Q: Los soldados temieron un ataque enemigo.
R: Los soldados se refugiaron en las montañas.

La proposición compuesta es:

P Ú (Q®R)

La cual tiene un sentido distinto de la proposición:

(P Ú Q)® R.

Cuando no hay lugar a ambigüedades, pueden omitirse los paréntesis y se adopta una convención con respecto a la dominancia relativa de los diversos conectivos. La convención es:

"«" y "®" dominan a "Ù" y "Ú".

así: S « P Ú R significa S « (P Ú R)

P ® Q Ù r significa P ® (Q Ù R)

Con esta convención, no está claro lo que significa por ejemplo:

P Ù Q Ú R ó P «Q® R

Aquí, es necesario usar paréntesis para aclarar, en el primer caso, si se trata de:

(P Ù Q) Ú R ó P Ù (Q Ú R)

y en el segundo caso, diferenciar entre:

(P « Q) ® R y P « (Q ® R)

1.2.2 El cálculo proposicional como un sistema axiomático

1.2.2.1 Signos primitivos

  • Letras latinas minúsculas y mayúsculas.

  • Signos lógicos: "Ø" (negación), "Ú " (disyunción).

  • Signos de puntuación: "(",")" (paréntesis).

De las sucesiones de signos que es posible construir, hay específicamente unas que tienen sentido dentro de la teoría. Tales sucesiones se denominan, términos y fórmulas. Los términos se identifican con los objetos de la teoría y las fórmulas expresan relaciones entre los objetos. La especificación de los términos y las fórmulas, se hace a través de las siguientes reglas.


1.2.2.2 Reglas formativas
  RF1: Cualquier letra es un término.
  RF2: Si R es una fórmula, entonces ØR es una fórmula, la cual se denomina negación de R.
  RF3: Si P y Q son fórmulas, entonces P Ú Q es una fórmula la cual se denomina disyunción lógica de P y Q.
  Nota: En las RF2 y RF3, las letras mayúsculas se usan para designar fórmulas, no corresponden a signos del lenguaje.

1.2.2.3 Signos Definidos. Una vez establecidas las reglas de formación de fórmulas se pueden introducir abreviaciones con el fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de las definiciones matemáticas.
  Definición: Sean R y S fórmulas, entonces:

  • La fórmula ØR ÚØS) se denota abreviadamente como R ÙS y se llama conjunción Lógica de R y S, la cual se lee "R y S".

  • La fórmula Ø R ÚS se denota como R ® S y se llama condicional de R y S. La figura lógica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante el esquema "si..., entonces...". Para leer una proposición de la forma R ® S, se puede usar algunas de las siguientes expresiones:


Si R entonces S.

R es suficiente para S.

S es necesario para R.

S siempre que R.

R sólo si S.




A la fórmula R se le llama antecedente, y a la fórmula S consecuente. Cuando el condicional es verdadero se dice que existe implicación y en este caso se lee la expresión como:

R implica S

la cual se denota:

R ÞS
  • La fórmula (R ® S) Ù (S® R) se denota por R « S y se llama bicondicional de R y S. Esta expresión se puede leer como:

R si y sólo sí S

R es suficiente y necesario para S

Cuando el bicondicional es verdadero, se dice que hay equivalencia. En este caso se lee:

R equivale a S

y se denota:

R Û s


Nota: Los criterios para decidir sobre la verdad del condicional y el bicondicional se verán más adelante.

1.2.2.4 Razonamiento Lógico. Deducción. La deducción lógico matemática consiste en lo siguiente: A partir de una serie de fórmulas admitidas como ciertas, y denominadas axiomas, hipótesis o premisas, se obtiene otra fórmula llamada conclusión o tesis, mediante la aplicación de reglas lógicas precisas. El proceso mediante el cual se pasa de las hipótesis (premisas) a la tesis, recibe el nombre de demostración.
 
Un teorema es una fórmula que figura dentro de una demostración. Es decir, un teorema es una fórmula que es o bien un axioma, o bien, una consecuencia de éste.
Una fórmula se dice que es falsa si su negación es un teorema.
Una teoría es contradictoria cuando se tiene una fórmula R que es verdadera y falsa a la vez. Esto es: R y Ø R son teoremas de la teoría.
Para demostrar que una fórmula C es un teorema se desarrolla el siguiente proceso:

  • Se enuncian los axiomas de la teoría. Para la lógica proposicional se establecen cuatro axiomas (A) que son :

A1. Axioma de idempotencia. Sea P una fórmula, entonces, la fórmula:
 
P Ú P Þ P

  es un axioma

  A2. Axioma de adjunción. Sean P Y Q fórmulas, entonces, la fórmula:
 
P Þ P Ú Q

es un axioma.

  A3. Axioma de conmutatividad. Sean P, Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
 

P Ú Q Þ Q Ú P

es un axioma.
 

A4. Axioma de adición. Sean P , Q y R fórmulas, entonces, la fórmula:
 

(P Þ Q) Þ (R Ú P Þ R Ú Q)

es un axioma.
 

  • Se fijan las "reglas lógicas" que permiten deducir dicha fórmula a partir de los axiomas. Estas reglas son llamadas reglas de validez (RV) y son las siguientes:

RV1: Dadas las fórmulas R y S; si R Þ S y R son verdaderas, entecos S es verdadera.

RV2: Si R y S son fórmulas equivalentes, se puede sustituirla una por la otra en cualquier parte del proceso demostrativo.  

  • Se hace una demostración de la fórmula C, que consiste en obtener a C como última fórmula de la lista, por aplicación reiterada de RV1 y RV2.


Ejercicios 1.2

Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indicar las proposiciones simples sustituidas por cada letra mayúscula.


1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.
2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.
3. O Jaime no es puntual o Tomas llega tarde.
4. Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad.
5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.
7. A la vez, si este cuadro es negro, entonces, aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.
8. Patinaremos sí y sólo si el hielo no es demasiado delgado.