6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD 

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1. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0) 

c. F(2, 3), directriz: x = 6 

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 

2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 

a. y2 + 4x 4y 20 = 0 

b. y2 8x + 4y + 12 = 0 

c. y2 + 4x + 4y = 0 

d. 4y2 + 24x + 12y 39 = 0 

e. 8y2 + 22x 24y 128 = 0 

f. x2 6x 12y 15 = 0 

g. x2 + 4x + 4y 4 = 0 

h. x2 8x + 3y + 10 = 0 

i. 6x2 8x + 6y + 1 = 0 

j. 5x2 40x + 4y + 84 = 0 

3. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q). 

4. 
a. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: . 

b. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: . 

5.  
a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un punto cualqui- era de la parábola corta a esta en un punto localizado sobre el eje y. 

b. Si Z denota el punto de intersección de la perpendicular desde el foco a la tangente, demuestre que: , donde : es el radio vector asociado al punto P. 

6. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: 

a. y = x2 2x 8 

b. y = x2 6x + 9 

c. y = 5 4x - x2 

d. y = 9 x2 

7. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos: 

a. 16x2 + 25y2 = 100 

b. 9x2 + 4y2 = 36 

c. 4x2 + y2 = 16 

d. x2 + 9y2 = 18 

e. 4y2 + x2 = 8 

f. 4x2 + 9y2 = 36 

8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica. 
Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0). 

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0). 

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -2). 

Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6. 

Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2. 

Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1. 

Vértices en (± 5, 0); c = 2. 

Centro en (2, -2), vértice en (7, -2); focos en (4, -2). 

Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8. 

Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2). 

9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vértices de cada elipse. Trace la gráfica correspondiente. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
10. Demuestre que una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son del mismo signo: 

a. Es la ecuación de una elipse con centro en (0, 0) si A ¹ C 

b. Es la ecuación de un círculo con centro en (0, 0) si A = C 

11. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son del mismo signo: 
a. Es una elipse si  tiene el mismo signo que A. 
b. Es un punto si  
c. No tiene puntos si  tiene el signo contrario de A. 
  

12. La excentricidad e de una elipse se define: e = c/a donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la elipse. Escriba un párrafo breve acerca de la forma general de cada una de las siguientes elipses. Justifique sus conclusiones. 

a. e cercana a 0. 

b. e = 0.5 

c. e = 1 

13. Considere la circunferencia C(o, r): centro en el origen y radio r. Sea A un punto fijo en el interior de C con . Encontrar el lugar de los puntos P(x, y) del plano tales que d(P, A) = d(P, C) 

14. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. 

a. 16x2 25y2 = 100 

b. 9x2 4y2 = 36 

c. 4x2 y2 = 16 

d. x2 9y2 = 18 

e. 4y2 x2 = 8 

f. 4y2 9x2 = 36 

15. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas. 
Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). 

Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). 

Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). 

Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). 

V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6. 

F(-7, 3), F(-1, 3); 2a = 4. 

V1(4, 0), V2(-4, 0); asíntota la recta y = 2x. 

16. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos, es una hipérbola con centro en (0, 0). 

18. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos: 

a. Es una hipérbola si  

b. Son dos rectas que se cortan si  

19. La excentricidad e de una hipérbola se define como el número e = c/a, donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la hipérbola. Como c > a, se deduce que e > 1. Describa la forma general de una hipérbola cuya excentricidad es cercana a 1. ¿Cuál será la forma si e es muy grande?. 

20. Dos estaciones LORAN están separadas 200 millas a lo largo de una costa recta: 

a. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00038 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares para determinar donde alcanzará el barco la costa si sigue la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo. 

b. Si el barco quiere entrar al puerto localizado entre las dos estaciones a 20 millas de la estación central, ¿Qué diferencia de tiempo está buscando?. 

c. Si el barco se encuentra a 50 millas mar adentro al obtener la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es la ubicación exacta del barco? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.). 

21. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que representa cada una de las ecuaciones dadas. Trazar la gráfica con todos sus elementos: 

a.  

b.  

c.  

d.  

e.  

f.  

g.  

h.  

i.  

j.  

k.  

22. Formule una estrategia para analizar y trazar la gráfica de una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0