EJEMPLOS

EJEMPLO 43

Dado el punto  y el vector  paralelo a la recta l que pasa por A. Encuentre 

a. La ecuación vectorial de . 

b. Las ecuaciones paramétricas. 

c. Las ecuaciones simétricas. 

Solución.

a.

ecuación vectorial de l.

b.

ecuaciones paramétricas de l.

c.

ecuaciones simétricas de l.

Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos  entonces . Si , entonces .

EJEMPLO 44

Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto  y es paralela al vector . Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola ecuación.

Solución.

Punto por el cual pasa la recta l.

Vector paralelo a la recta l.

Ecuación vectorial de l.

, luego las ecuaciones paramétricas de l son

igualando las ecuaciones se tiene que

esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l. 

EJEMPLO 45

Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta o de sus correspondientes ecuaciones paramétricas, es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro , por ejemplo la ecuación vectorial ,  describe el segmento de recta que va desde  hasta .

EJEMPLO 46

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos  y . 

Solución.

El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto .

luego las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son

las ecuaciones simétricas son

EJEMPLO 47

Determinar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por el punto  y es paralelo a los vectores  y .

Solución.

ecuación vectorial

Las ecuaciones paramétricas del plano son

Si eliminamos los parámetros  y t obtenemos la ecuación cartesiana del plano es

EJEMPLO 48

Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa por los puntos ,  y .

Solución.

Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C, por lo tanto podemos tomar  y . 

como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, C puesto que dicho plano pasa por estos puntos.

Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no son únicas.

ecuación vectorial

Ecuaciones paramétricas

Eliminando los parámetros  y t obtenemos la ecuación cartesiana

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ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS  DE RECTAS Y PLANOS  volver a la unidad