ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS DE RECTAS Y PLANOS

Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta.
Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l un vector paralelo a l.
 Un punto  estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a ,  es decir,  para cualquier . Observe que si , entonces A = P, si colocamos un sistema coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .




Empleando vectores coordenados, la ecuación  puede escribirse como

(1)
La ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector .
 
Si , entonces
de la igualdad anterior se tiene que
(2)
Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a  obtenemos un punto  específico.
Si en las ecuaciones (2) despejamos el parámetro  tenemos que

Por consiguiente, (3)
Las ecuaciones (3) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A y es paralela al vector .
Ejemplo 43
Ejemplo 44
Ejemplo 45
Ejemplo 46

Un plano queda determinado si conocemos un punto A del plano y dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre si, .

Sea p un punto cualquiera del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores  no es múltiplo escalar de  puesto que  no son paralelos) el plano  determinado por los puntos o, V y W es el conjunto de todos los puntos que son combinaciones lineales de .

El plano  paralelo a  y contiene al punto A puede verse como una traslación del plano  hasta A. De esta manera
visto en términos de vectores coordenados es



Es la ecuación vectorial del plano  que pasa por A y es paralelo a los vectores no paralelos .

Las ecuaciones paramétricas del plano 


Ejemplo 47
Ejemplo 48

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EJERCICIOS