EJEMPLOS

EJEMPLO 36:
Muestre que la ecuación del plano que contiene el punto  y que es perpendicular al vector ,  donde  son los vectores fijos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), respectivamente, es 

Solución.

Un punto  está en el plano determinado por  y la normal  si y solo si  es perpendicular a , o sea, que  y como  se tiene que
 

, luego el punto P está en el plano si y solo si se verifica la última relación.

 


 

EJEMPLO 37:
Hallar la ecuación del plano que contiene el punto  y es normal al vector  (en términos de coordenadas al vector  es .

Solución.

Del ejemplo anterior se tiene que la ecuación del plano que contiene al punto  y es normal al vector  es
 

, es decir, 


 

EJEMPLO 38:
Demuestre que el plano cuya ecuación es  tiene como normal al vector

Solución.

Sea L una recta cualquiera en el plano dado. Sean  dos puntos de L, luego.  esto significa que el vector  y el vector son perpendiculares, donde se concluye que el vector  es perpendicular a Ly por lo tanto a cualquier recta del plano dado y por lo tanto  es perpendicular al plano.


 

EJEMPLO 39:
Encuentre la distancia del punto  al plano cuya ecuación es 

Solución.


Q es un punto conocido del plano dado que se obtiene de la ecuación  es un punto del plano dado. Con base en el ejemplo anterior  es perpendicular al plano dado. La proyección del vector PQ sobre el vector  es PP’ que es un vector que pasa por P y es perpendicular al plano por lo que la distancia del punto P al plano dado es .
 






 


 

EJEMPLO 40:
TRABAJO.El trabajo
realizado por una fuerza constante  al mover un objeto una distancia dada d en la misma dirección de la fuerza, está dado por   unidades de trabajo. (Newton . m o Joule, Dina . cm o Ergio, Libra . pie).
 


Si el movimiento no se realiza en la dirección de la fuerza, entonces el trabajo es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento por la distancia recorrida o desplazamiento.Sies el vector desplazamiento yes la fuerza, observamos que el trabajo realizado porFpara mover el objeto desdePhastaRse debe al vectorPS,la proyección vectorial deFsobreD.Luego 
 

 


OBSERVACIÓN
 

 

Si   ángulo entre F y D = 00, entonces 
 

1.Una fuerza de6 Newtonsse aplica con una dirección de.Cuál es el trabajo realizado al mover un objeto del puntoal puntosi la distancia se mide en metros? 


Si  

 

Entonces 

 

Joules. 

En física se explica el signo menos del trabajo por la acción de otras fuerzas o porque el cuerpo en movimiento tiene una velocidad inicial. 
 

2.Una fuerza de 10 Newtons se aplica en la dirección del vector  ¿Cuál es el trabajo realizado al mover el objeto desde el punto  hasta el punto  si la distancia se mide en metros?. 

Solución.

 
Si F tiene la dirección de T, entonces , m > 0, ,
 

Luego 
 

El vector de desplazamiento 


 

Ahora, 
 

El trabajo realizado es de 16 Joules.


 
 

Ejercicios 

Vectores coordenados 

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