} EJEMPLOS - ECUACIONES LINEALES

EJEMPLOS


EJEMPLO 20:
Sea x =(2,5) y y =(4,1) parejas ordenadas de números reales.

x+y = (2+4,5+1)=(6,6)




EJEMPLO 21:
a. Sea y trace los vectores localizados (vectores fijos) y . Dibuje .

b. Cómo es con relación a ?

c. Cómo es con relación a ?


Solución.

a.


b.
El vector libre es paralelo al vector de posición cuyo punto terminal es y tienen igual magnitud.

c. El vector libre es igual al vector libre QP.




EJEMPLO 22:
a. Si y trace los vectores localizados y .
Dibuje QP.

b. Cómo es con relación a ?

c. Cómo es con relación a ?

Solución. a.



b.
El vector libre es paralelo al vector de posición cuyo punto terminal es y tienen igual magnitud.

c. El vector libre es igual al vector libre QP.




EJEMPLO 23:
Si , , encontrar las coordenadas de para que el vector libre AC y BD sean los lados opuestos de un paralelogramo.



Por ser la diagonal del paralelogramo con lados adyacentes y .







D = (2,6)+(3,– 1) – (1,2)

,

luego las coordenadas de




EJEMPLO 24:
Encuentre las coordenadas del punto terminal Q de un vector libre con punto inicial . Si PQ es igual al vector fijo con punto terminal .

Solución.



Fig. 3.41


Elegimos un punto de referencia O fijo y trazamos los vectores localizados y . Q debe ser un punto tal que .

Los vectores PQ y OB determinan un paralelogramo cuya diagonal es OQ.
, que en términos de vectores fijos es





luego las coordenadas del punto Q son (7,8,4).




EJEMPLO 25:
a. Para , se tiene que . En este caso en lugar de escribir se acostumbra escribir .

b. Para , se tiene que .

c. Para , se tiene que .

En el caso de tomar norma es equivalente a tomar valor absoluto. A continuación aparece la interpretación geométrica.







Fig. 3.43




EJEMPLO 26:
Si A = -3, entonces .geométricamente se puede interpretar como la distancia desde el origen o al punto en la recta coordenada.

b. Si A = (-2, 3), entonces .

Fig. 3.44


Para el caso de n = 2 se puede interpretar geométricamente como la hipotenusa del triángulo AA’O que es un triángulo que tiene como catetos y cuyas longitudes son 2 y 3 respectivamente.

c. Si A = (3, 3, 4)

Fig. 3.45

La se puede interpretar geométricamente como la diagonal del paralelepípedo cuyos vértices son los puntos U S T O R Q P A.

La para el caso n > 3 no tiene interpretación geométrica.




EJEMPLO 27:
Encuentre los cosenos directores y los ángulos directores del vector coordenado A = (3, 3, 4).

Solución.











y los ángulos directores del vector A son









Para el caso de Rn si se puede definir n ángulo directores de por las fórmulas

para i = 1, 2,...,n


y entre 0o y 180o para cada i.

En Rn también es válida la ecuación





EJEMPLO 28:
Hallar el ángulo entre los vectores coordenados y .

Solucion












Ejercicios

Vectores coordenados

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