VECTORES COORDENADOS (Rn)


Un número real puede ser representado como un punto de una línea recta, una pareja de números reales puede ser representado por un punto en el plano y una terna de números reales puede ser representado por un punto en el espacio. Aunque no se pueda dar una representación geométrica de las n-tuplas ordenadas existen interpretaciones útiles para ellas. Por ejemplo como solución de un sistema de ecuaciones lineales de n incógnitas, al igual que en el espacio de dos dimensiones nos referimos a los pares ordenados como puntos del espacio de dos dimensiones nos referimos a las n-tuplas ordenadas como puntos en el espacio de n dimensiones.


Fig 3.31a


Fig 3.31b


Fig 3.31c



DEFINICIÓN 3.5

Una n-tupla de números reales se denota por donde cada xi es un número real. Las n-tuplas de números reales y son iguales si .
El conjunto formado por todas las n-tuplas de números reales ordenadas se denota por , es decir


DEFINICIÓN 3.6

Si y son n-tuplas de números reales, se define la suma como la n-tupla

se dice que la suma se define con base a sus componentes. Como vimos anteriormente a cada punto del plano coordenado se le puede asociar un vector fijo. Si es una pareja ordenada de números reales (un vector de ) le podemos asociar el vector libre OX que tiene por punto inicial el origen de coordenadas O y por punto terminal X.

Fig 3.32




Ejemplo 20



INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA EN R2

Sean y , entonces


Fig 3.33



A la suma de dos parejas ordenadas, se le puede asociar el vector fijo que tiene por punto inicial el origen y por punto terminal el punto que es la diagonal del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores fijos OX y OY.


DEFINICIÓN 3.7 (Multiplicación por un escalar)

Sean un elemento de y un escalar (número real), el producto del escalar por la n-tupla x se denota por .

es una n-tupla de que se obtiene multiplicando cada una de las componentes de la n-tupla por el escalar .

Sea





Fig 3.34a


Fig 3.34b



TEOREMA 3.3
PROPIEDADES DE LA SUMA DE N-TUPLAS EN Rn

Sean pertenecientes a y escalares (números reales). Entonces
P1. es un elemento de Rn Clausurativa
P2. Conmutativa
P3. donde 0 = (0,...,0) Modulativa
P4. Asociativa
P5. Invertiva
se llama inverso aditivo
P6. es un elemento de
P7. Distributiva de la suma de escalares con respecto al producto por un escalar.
P8. Distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de dos n-tuplas.
P9. Asociatividad del producto por un escalar.
P10. Identidad escalar.


DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P2
Por Definición 3.6
Por la propiedad conmutativa de la suma de números reales.
Por Definición 3.6
luego


DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P5
Definición 3.6
Propiedad invertiva de la suma de números reales.
=0
Luego


DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P7
Definición 3.7
Distributividad del producto con respecto a la suma de los números reales.
Definición 3.6
Definición 3.7
luego se tiene que


DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD P9
Definición 3.7
Definición 3.7
Asociatividad de la multiplicación de números reales.
Definición 3.7.
y por tanto



DEFINICIÓN 3.8

Si x y y son elementos de Rn , definimos la resta como donde -y es el inverso aditivo de y.
En matemáticas encontraremos sistemas matemáticos que satisfacen las 10 propiedades del teorema 3.3, estos sistemas se llaman espacios vectoriales.


DEFINICIÓN 3.9(Espacio vectorial).

Un conjunto V no vacío en el cual hay definidas dos operaciones, una suma en V y un producto por un escalar (un número real por un elemento de V) que cumpla las propiedades del teorema 3.3 se llama espacio vectorial y los elementos de V se llaman vectores.

Rncon las operaciones definidas anteriormente es un espacio vectorial y por lo tanto las n-tuplas se pueden considerar como vectores.

Usaremos la notación para indicar que es el punto terminal del vector fijo . Si es un vector localizado en el espacio la notación indica que es el punto terminal del vector fijo .

Fig 3.35a


Fig 3.35b


Otra manera de denotar vectores fijos en el plano y el espacio es la siguiente:

Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 1). Entonces si P es un punto del plano de coordenadas , podemos escribir el vector fijo como .

Fig 3.36


Sea el vector fijo cuyo punto terminal es (1, 0, 0), el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 1, 0) y el vector fijo cuyo punto terminal es (0, 0, 1). Entonces si P es un punto del espacio de coordenadas , podemos escribir el vector fijo como .

Fig 3.37





Ejemplo 21



Ejemplo 22



Ejemplo 23



Ejemplo 24



LONGITUD Y DIRECCIÓN DE UN VECTOR COORDENADO

Fig 3.37
El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3.

Si del teorema de Pitágoras se tiene que

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR tenemos que y remplazando esta última ecuación en la primera se tiene que

como la norma de un vector es no negativa tenemos que


DEFINICIÓN 3.10(Longitud, magnitud o norma de un vector)

La longitud del vector de Rn se denota por y se define como



Ejemplo 25



Ejemplo 26



DEFINICIÓN 3.11 (Ángulos directores).

Los ángulos directores de un vector fijo OA y del vector coordenado son los ángulos y , donde es el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el vector OA, es el ángulo formado por el eje positivo de las y y el vector OA y es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0o y 180o.


DEFINICIÓN 3.12 (Cosenos directores).

Los cosenos directores del vector fijo OA o del vector coordenado son los cosenos de los ángulos directores del vector A y . Podemos encontrar una fórmula para determinar los cosenos directores del vector OA.

Fig 3.46


El ángulo es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR.




de forma similar se tiene que





Veamos que






Ejemplo 27



ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES EN R2 Y R3

DEFINICION 3.13

Sean A y B dos vectores de R3 o (R2) no nulos, el ángulo q entre los vectores A y B coordenados es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde q es un ángulo entre 0o y 180o.


TEOREMA 3.4

Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces


DEMOSTRACIÓN

Fig 3.46a


Por la ley de los cosenos se tiene que


Si y son vectores de R3, entonces









Remplazando se tiene que








Ejemplo 28






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EJERCICIOS