VECTORES LIBRES


En ciencias, cantidades físicas tales como fuerza, velocidad, desplazamiento (movimiento de una partícula de un lugar a otro) y la aceleración se describen por medio de una magnitud y una dirección. El término vector se emplea para identificar dichas cantidades. Para ayudar a construir la idea intuitiva iniciemos con una analogía entre los números racionales y los vectores. Sabemos que las razones etc., son razones distintas que representan un mismo número racional. Veremos en la figura 3.1. que diferentes segmentos de recta dirigidos pueden representar un mismo vector.

Usualmente representamos un número racional con la razón simplificada, en este caso escogemos

Geométricamente un vector puede representarse como un segmento dirigido o flecha. La longitud del segmento denota la magnitud del vector, por ejemplo una fuerza de 8 Newton puede representarse por una flecha de 8 unidades de largo y en la misma dirección de la fuerza. Todos esos segmentos de línea dirigidos representan el mismo vector. Geométricamente son distintos conjuntos de puntos pero como representaciones de vectores son iguales.

Fig 3.1


DEFINICIÓN 3.1

Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo vector si y sólo si tienen la misma longitud y la misma dirección. Para denotar los vectores libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector son los puntos A y B respectivamente, también podemos escribir




Fig 3.2



SUMA DE VECTORES

Existen dos procedimientos que se pueden emplear para la suma de vectores. Como se observa en la figura 3.3, se dibuja el vector desde el punto terminal de se dibuja el vector , el vector es el vector que va desde el punto inicial de hasta el punto terminal de . Este método de suma de vectores se conoce como la REGLA DEL TRIÁNGULO.

Un método alternativo equivalente es la REGLA DEL PARALELOGRAMO (figura 3.3) dibujamos las representantes de los vectores y desde el mismo punto (se hacen coincidir los puntos iniciales de y ) y se completa el paralelogramo, la diagonal trazada desde el punto común representa la suma .

Metodo del triangulo

Metodo del paralelogramo


Fig 3.3



En la figura 3.3 podemos observar de la regla del triángulo que la suma de vectores es conmutativa, es decir, .

La magnitud o longitud del vector se denota por . La dirección del vector se denota por dir. Si y son vectores tales que dibujados desde un mismo punto inicial forman un ángulo de 180º escribiremos que y diremos que la dirección de es opuesta a la dirección de .


Fig. 3.4



El vector cero representado por , es un vector que tiene longitud cero. El vector cero no tiene dirección. Por la regla del triángulo para la suma tenemos que .

Para cualquier vector , diferente del vector cero definimos (se lee “menos ”, opuesto de v o inverso aditivo de v) como el vector tal que cumple las siguientes condiciones:

a.
b.


Si , entonces .
De la regla del triángulo para la suma de vectores tenemos que .



Fig. 3.5


Si dos vectores libres y son paralelos y tienen igual longitud, entonces o . Observando las direcciones de las flechas podemos deducir si o .


DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Como todo vector libre tiene un inverso aditivo podemos definir la resta de los vectores y asi





Fig. 3.6


Una forma alternativa de hacer la resta de los vectores y



Fig. 3.7


La figura 3.7 se obtiene al complementar el paralelogramo en la figura 3.6 por lo tanto para hacer la diferencia de los vectores y se puede proceder así:

  1. Construimos los vectores y de tal manera que sus puntos iniciales coincidan.
  2. El vector diferencia es un vector que tiene por punto inicial al punto terminal del vector (vector sustraendo) y por punto terminal al punto terminal del vector (vector minuendo).
Ejemplo 1



Ejemplo 2



Ejemplo 3



Ejemplo 4



Ejemplo 5



Ejemplo 6



Ejemplo 7



Ejemplo 8





OBSERVACIÓN.

En la práctica para hallar la magnitud y la dirección de la resultante de la suma o diferencia de dos vectores se hace en la mayoría de los casos resolviendo un triángulo en el cual se conocen las longitudes de dos de sus lados y un ángulo. Las longitudes de los lados son las magnitudes de los vectores que se operan.


MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

De la suma de vectores se tiene que es un vector con magnitud igual al doble de la magnitud de y con la misma dirección de . Si escribimos , entonces es un vector con y dirección de igual a la dirección de . De forma similar es un vector cuya magnitud es tres veces la magnitud de y si escribimos entonces es un vector tal que y . De la suma de vectores también tenemos que es un vector el doble de longitud que y con dirección contraria a la de . Si escribimos , entonces es un vector tal que y .



Fig. 3.16


Las anteriores observaciones motivan la siguiente definición.


DEFINICIÓN 3.2(Multiplicación por un escalar).

Si es un número real (escalar) y es un vector libre, entonces es un vector que cumple una de las siguientes condiciones
  1. Si , entonces y
  2. Si , entonces
  3. Si , entonces y



OBSERVACIÓN

  • No se asignará ningún valor a la expresión , es decir, siempre se escribirá el número real a la izquierda del vector cuando se multiplique un vector por un número real (escalar).
  • Para denotar números reales (escalares) siempre se usarán letras griegas como


    Ejemplo 9



    PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

    Dados dos vectores y y dos escalares y . Entonces

    1. El producto es un vector determinado de manera única.


    Ejemplo 10



    Ejemplo 11



    Ejemplo 12



    Ejemplo 13







    EJERCICIOS