APLICACIONES DE LA FUNCION DETERMINANTE


En esta sección daremos algunas aplicaciones de los determinantes, las otras aplicaciones se verán en la medida del progreso en el conocimiento en matemáticas, pues estas aplicaciones requieren conocimientos que no se poseen en este nivel.


TEOREMA 2.5
Si A es una matriz de orden n y es el cofactor asociado a la componente de A,entonces si . En palabras, si el determinante se desarrolla a lo largo de una fila de A pero se usan los cofactores de otra fila, entonces la suma resultante es cero.


Ejemplo 15


DEFINICIÓN 2.5

Si A es una matriz de orden n, la matriz de cofactores de A es la matriz , de orden n, donde la componente de es el cofactor asociado a de A (es decir, ).La adjunta de A es la transpuesta de la matriz de cofactores de A. Escribimos .


TEOREMA 2.6
Si A es una matriz de orden n, entonces



DEMOSTRACIÓN.
Sea y
La componente de D



vemos que

Si

y por el teorema 2.5
, si

Entonces


COROLARIO 2.4
Si A es una matriz no singular de orden n, entonces



DEMOSTRACIÓN.
Supongamos que A es no singular, es decir, y por el teorema 2.6 se tiene que , por el teorema 3 de sección 2.5. tenemos


como consecuencia del teorema 1.15 tenemos que



Ejemplo 16


Ejemplo 17


OBSERVACIÓN.
Para calcular la inversa de una matriz A de orden 2, no singular, intercambiamos los elementos de la diagonal principal y le cambiamos de signo a los elementos de la diagonal secundaria y esta matriz resultante la multiplicamos por el escalar , obteniendo así la inversa de la matriz A.


Ejemplo 18


TEOREMA 2.7(Regla de Cramer)
Si la matriz A de coeficientes de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas


es no singular, entonces el sistema tiene solución única y está dado por

,

donde Aj es la matriz n x n que se obtiene al remplazar la j-ésima columna de A por la columna de constantes del lado derecho del sistema.


DEMOSTRACIÓN.
Sea AX=B la ecuación matricial equivalente del sistema y por el teorema 1.9 se tiene que la única solución es X=A-1B y por el corolario 2.4 de esta sección tenemos


Sea H = adjA y D = HB. D es una matriz columna n x 1 y la componente j-ésima es





Por tanto




Ejemplo 19




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EJERCICIOS