DETERMINANTES

En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se puede hacer de muchas formas, la definición que daremos nos permite obtener un procedimiento relativamente fácil para el cálculo de determinantes, parte de la teoría de determinantes envuelve procesos engorrosos y difíciles que no serán expuestos. Asi que asumiremos sin prueba aquellos resultados que caen dentro de esta categoría. Si alguien desea conocer las pruebas de dichos teoremas pueden ser consultadas en el libro Matemáticas Superiores para Ingenieros 4a Edición. C RAY WYLIE. Mc. Graw Hill.


EL DETERMINANTE

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras no significan valor absoluto).

DEFINICIÓN 2.1(Determinante de una matriz de orden 1)
Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.


Ejemplo 1


DEFINICIÓN 2.2(Menores y cofactores de una matriz de orden n)
Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al elemento de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento de A esta dado por .


Ejemplo 2


DEFINICIÓN 2.3(Determinante de una matriz de orden superior)
Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus respectivos cofactores.

.


Ejemplo 3


Ejemplo 4


Ejemplo 5


Ejemplo 6


REGLA DE SARRUS

Paso 1 Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación



Paso 2 Calcule los productos indicados por las flechas (que a continuación se indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.
+ + + - - -



Paso 3 Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2


.


Ejemplo 7


OBSERVACIÓN
La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden 3.

TEOREMA 2.1. Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A esta dado por

Desarrollo del i-ésimo renglón
o tal vez
Desarrollo del j-ésima columna



Ejemplo 8


Ejemplo 9


DEFINICIÓN 2.4(Matrices triangulares).

Una matriz de orden n se llama triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal principal son ceros y se denomina triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Una matriz que es triangular superior e inferior se denomina matriz diagonal. Una matriz diagonal en la cual todas las entradas de la diagonal principal, son iguales se llama matriz escalar.

Matriz triangular superior Matriz triangular inferior
Matriz diagonal Matriz escalar
Para encontrar el determinante de las matrices anteriores basta multiplicar los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo 10





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EJERCICIOS